Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y'' + 4y = t^2 + 3e^t ; y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de segunda ordem. A equação é com as condições iniciais e . Vamos usar o método das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as transformadas de Laplace das funções envolvidas e as propriedades das transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A transformada de Laplace da derivada segunda é , onde é a transformada de . Aplicando isso na equação, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão de . Primeiro, escrevemos o numerador como uma única fração:
No entanto, para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para , , e , encontramos os coeficientes necessários.

Passo 5

Depois de encontrar os coeficientes, substituímos de volta na expressão de :
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente para encontrar .

Passo 6

Aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo os valores de , , e , obtemos a solução completa da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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