Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de segunda ordem. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos usar o método das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Para isso, vamos precisar conhecer as transformadas de Laplace das funções envolvidas e as propriedades das transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A transformada de Laplace da derivada segunda
é
, onde
é a transformada de
. Aplicando isso na equação, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos reunir os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão de
. Primeiro, escrevemos o numerador como uma única fração:
No entanto, para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor
em frações parciais:
Resolvendo para
,
,
e
, encontramos os coeficientes necessários.
Passo 5
Depois de encontrar os coeficientes, substituímos de volta na expressão de
:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente para encontrar
.
Passo 6
Aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo os valores de
,
,
e
, obtemos a solução completa da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resposta:
.
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
O chamado circuito
(resistência
e capacitância
) é descrito pela equação
em que
a carga no capacitor e
a voltagem externa imposta ao sistema, no instante
. Supondo que
e
são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante
, quando