Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Passo 1
Oi! Então, temos uma hélice circular definida pela função
, onde
e
são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é reparametrizar essa curva pelo comprimento do arco. Isso significa que vamos expressar a posição na curva em termos da distância percorrida ao longo dela, ao invés do parâmetro
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento do arco e usar essa informação para reescrever a função da hélice.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento do arco
de uma curva parametrizada por
é dado pela integral da norma da derivada de
em relação a
. Ou seja:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, e
é a magnitude dessa derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Simplificando dentro da raiz:
Note que
, uma identidade trigonométrica básica.
Passo 4
Como
é constante e igual a
, o comprimento do arco de
até
é:
Para simplificar, podemos escolher
, então:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos de
. Resolvendo a equação acima para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na função original
por
para obter a reparametrização pela extensão do arco:
Resposta
A reparametrização da hélice pelo comprimento do arco é dada por:
Exercícios relacionados
Resolva o PVI:
O chamado circuito
(resistência
e capacitância
) é descrito pela equação
em que
a carga no capacitor e
a voltagem externa imposta ao sistema, no instante
. Supondo que
e
são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante
, quando
Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Verifique a ordem das Equações Diferenciais. Em seguida, verifique se as funções ao lado são suas respectivas soluções.
, soluções:
e
.