Considere a hélice circular dada por , em que e são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.

Passo 1

Oi! Então, temos uma hélice circular definida pela função , onde e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é reparametrizar essa curva pelo comprimento do arco. Isso significa que vamos expressar a posição na curva em termos da distância percorrida ao longo dela, ao invés do parâmetro . Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento do arco e usar essa informação para reescrever a função da hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento do arco de uma curva parametrizada por é dado pela integral da norma da derivada de em relação a . Ou seja:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e é a magnitude dessa derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Simplificando dentro da raiz:
Note que , uma identidade trigonométrica básica.

Passo 4

Como é constante e igual a , o comprimento do arco de até é:
Para simplificar, podemos escolher , então:

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos de . Resolvendo a equação acima para :

Passo 6

Finalmente, substituímos na função original por para obter a reparametrização pela extensão do arco:

Resposta

A reparametrização da hélice pelo comprimento do arco é dada por:

Exercícios relacionados

Resolva o PVI:
O chamado circuito (resistência e capacitância ) é descrito pela equação
em que a carga no capacitor e a voltagem externa imposta ao sistema, no instante . Supondo que e são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante , quando
Considere a hélice circular dada por , em que e são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Verifique a ordem das Equações Diferenciais. Em seguida, verifique se as funções ao lado são suas respectivas soluções.
, soluções: e .