Considere a hélice circular r: R -> R^3 dada por r(t) = < a cos(t), a sen(t), b t >, em que a e b são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.

Passo 1

Oi! Então, temos uma hélice circular definida pela função , onde e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é reparametrizar essa curva pelo comprimento do arco. Isso significa que vamos expressar a posição na curva em termos da distância percorrida ao longo dela, ao invés do parâmetro . Para isso, vamos precisar entender como calcular o comprimento do arco e usar essa informação para reescrever a função da hélice.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento do arco de uma curva parametrizada por é dado pela integral da norma da derivada de em relação a . Ou seja:
Aqui, representa a derivada de em relação a , e é a magnitude dessa derivada, que nos dá a velocidade ao longo da curva.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Simplificando dentro da raiz:
Note que , uma identidade trigonométrica básica.

Passo 4

Como é constante e igual a , o comprimento do arco de até é:
Para simplificar, podemos escolher , então:

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos de . Resolvendo a equação acima para :

Passo 6

Finalmente, substituímos na função original por para obter a reparametrização pela extensão do arco:

Resposta

A reparametrização da hélice pelo comprimento do arco é dada por:

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