Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;

Passo 1

Beleza! Vamos lá: a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio de . Para resolver isso, vamos usar propriedades que lidam com funções multiplicadas pela função de Heaviside , que basicamente “liga” a função a partir de um certo ponto no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. Quando temos uma função multiplicada por , a transformada de Laplace fica assim:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

No nosso caso, e . Primeiro, vamos encontrar , que é a transformada de . Sabemos que:
Agora, aplicando a propriedade de deslocamento:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
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.
O chamado circuito (resistência e capacitância ) é descrito pela equação
em que a carga no capacitor e a voltagem externa imposta ao sistema, no instante . Supondo que e são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante , quando
Resolva o PVI: