Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Passo 1
Beleza! Vamos lá: a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo
para o domínio de
. Para resolver isso, vamos usar propriedades que lidam com funções multiplicadas pela função de Heaviside
, que basicamente “liga” a função a partir de um certo ponto no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. Quando temos uma função
multiplicada por
, a transformada de Laplace fica assim:
onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
No nosso caso,
e
. Primeiro, vamos encontrar
, que é a transformada de
. Sabemos que:
Agora, aplicando a propriedade de deslocamento:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
O chamado circuito
(resistência
e capacitância
) é descrito pela equação
em que
a carga no capacitor e
a voltagem externa imposta ao sistema, no instante
. Supondo que
e
são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante
, quando
Resolva o PVI: