Resolva o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial dada por e uma condição inicial que diz que quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . No caso, temos:
Para verificar se a equação é exata, a gente confere se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de e que iremos determinar.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à para encontrar :
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na função , temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

O chamado circuito (resistência e capacitância ) é descrito pela equação
em que a carga no capacitor e a voltagem externa imposta ao sistema, no instante . Supondo que e são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante , quando
Seja . Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Considere a hélice circular dada por , em que e são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Considere a hélice circular dada por , em que e são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.