Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial dada por
e uma condição inicial que diz que quando
,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. No caso, temos:
Para verificar se a equação é exata, a gente confere se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
e que iremos determinar.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à
para encontrar
:
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na função
, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
O chamado circuito
(resistência
e capacitância
) é descrito pela equação
em que
a carga no capacitor e
a voltagem externa imposta ao sistema, no instante
. Supondo que
e
são constantes positivas, use a transformada de Laplace para calcular a quantidade de carga presente no capacitor, no instante
, quando
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.