Resolva o PVI: (x+y) dx + (x+2y) dy = 0, y(2)=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que é um Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem uma equação diferencial dada por e uma condição inicial que diz que quando x = 2, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . No caso, temos:
Para verificar se a equação é exata, a gente confere se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x, y) tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função F(x, y) integrando M em relação a x:
Aqui, é uma função que depende só de y e que iremos determinar.

Passo 5

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar à N(x, y) para encontrar :
Então:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na função F(x, y), temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de C:
Então, .

Resposta

A solução do PVI é:

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