O chamado
Desenhe os eixos x e y no padrão usual (horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente), e esboce os seguintes vetores:
a=3 i+4 j ; b=-15 i+20 j ; c=8 i-6 j ; d=-2 i-32 j.
Determine, para cada um destes vetores: o módulo; e o ângulo que faz com o eixo x positivo, considerando os ângulos entre -180^circ e 180^circ.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar os vetores no plano cartesiano e calcular duas coisas para cada um deles: o módulo (que é basicamente o comprimento do vetor) e o ângulo que ele forma com o eixo positivo do x. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria. Vamos precisar das fórmulas para calcular o módulo de um vetor e para encontrar o ângulo usando a função arco-tangente.

Passo 2

Vamos começar com o vetor a = 3 i + 4 j.
Módulo de a:
O módulo de um vetor v = vx i + vy j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando para a:
|a| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Ângulo de a com o eixo x:
Para encontrar o ângulo theta, usamos:
theta = arctan(vyvx)
Para a:
theta = arctan(43) approx 53,13^circ

Passo 3

Agora, vamos para o vetor b = -15 i + 20 j.
Módulo de b:
Usando a mesma fórmula:
|b| = raiz(-15)^2 + 20^2 = raiz225 + 400 = raiz625 = 25
Ângulo de b com o eixo x:
Primeiro calculamos o ângulo básico:
theta = arctan(20-15) = arctan(-43) approx -53,13^circ
Como o vetor está no segundo quadrante (pois vx é negativo e vy é positivo), ajustamos o ângulo:
theta = 180^circ - 53,13^circ = 126,87^circ

Passo 4

Vamos para o vetor c = 8 i - 6 j.
Módulo de c:
|c| = raiz8^2 + (-6)^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10
Ângulo de c com o eixo x:
Calculando o ângulo básico:
theta = arctan(-68) = arctan(-34) approx -36,87^circ
Como vx é positivo e vy é negativo, o vetor está no quarto quadrante, então o ângulo já está entre -180^circ e 180^circ.

Passo 5

Por fim, vamos para o vetor d = -2 i - 32 j.
Módulo de d:
|d| = raiz(-2)^2 + (-32)^2 = raiz4 + 94 = raiz254 = 52 = 2,5
Ângulo de d com o eixo x:
Calculando o ângulo básico:
theta = arctan(-32-2) = arctan(34) approx 36,87^circ
Como ambos vx e vy são negativos, o vetor está no terceiro quadrante. Portanto, o ângulo é:
theta = -180^circ + 36,87^circ = -143,13^circ

Resposta

Vetor a:
  • Módulo: 5
  • Ângulo: 53,13^circ
Vetor b:
  • Módulo: 25
  • Ângulo: 126,87^circ
Vetor c:
  • Módulo: 10
  • Ângulo: -36,87^circ
Vetor d:
  • Módulo: 2,5
  • Ângulo: -143,13^circ

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