A interação gravitacional é descrita pela força dada por
F=G mA mBrA B^2
onde mA e mB são as massas dos corpos, rA B a distância entre seus centros, G a constante da gravitação de Newton.
Ainda na página citada acima, colete os seguintes dados: massa da Terra (MT); massa do Sol (MS); raio da Terra (RT); raio do Sol (RS); distância (média) Sol-Terra (dS T).
Considere enfim a distância média Sol-Terra (dS T) : não está especificado se é a distância entre os centros ou entre as superfícies!
Mostre, com base na resolução do item anterior, que isso gera uma margem de erro de menos que 1 % no valor de dS T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a força gravitacional entre a Terra e o Sol. A gente vai usar a fórmula da gravitação de Newton, que relaciona as massas dos corpos, a distância entre eles e a constante gravitacional. Precisamos comparar a distância média entre o Sol e a Terra considerando duas opções: entre os centros ou entre as superfícies dos corpos, e mostrar que a diferença entre essas duas escolhas gera um erro menor que 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da força gravitacional:
F = G mA mBrA B^2
Aqui, é a força gravitacional, é a constante gravitacional, e são as massas dos dois corpos, e é a distância entre os centros desses corpos.

Passo 3

Mas, no nosso caso, a questão não especifica se (a distância Sol-Terra) é entre os centros ou entre as superfícies. Então, vamos calcular a diferença entre essas duas opções.

Passo 4

Vamos definir:
  • d'ST = dST - RT - RS : raio da Terra
  • : raio do Sol
  • : distância média entre o Sol e a Terra
Se a distância for entre os centros, ela é simplesmente . Se for entre as superfícies, teremos que subtrair os raios de ambos os corpos:

Passo 5

A diferença entre as duas definições de distância é:
De

Passo 6

Agora, para encontrar a margem de erro relativa, usamos a fórmula:
Erro = De
Substituindo:
Erro = RT + RSdST times 100%

Passo 7

Vamos inserir os valores:
  • Massa da Terra RT + RS = 6.371 times 10^3 + 6.963 times 10^5 = 7.027 times 10^5 km e do Sol não são necessários aqui.
  • Raio da Terra km
  • Raio do Sol km
  • Distância média Sol-Terra km
Calculando :

Passo 8

Agora, calculamos a margem de erro:
Erro = 7.027 times 10^51.496 times 10^8 times 100% approx 0.47%

Resposta

A diferença na definição da distância Sol-Terra (entre centros ou superfícies) gera uma margem de erro de aproximadamente 0,47%, que é menor que 1%.

Exercícios relacionados