Considere os seguintes dados da população na Terra:
ÇÃãããã
Desafio: Considere a população mundial no ano 2000, e note que em 45anos a população quase dobrou. Suponha que a população mundial dobre a cada 50 anos. Determine, sem fazer a conta exata, qual será a ordem de grandeza da população no ano 3000.
(Dica: Formule o problema e lembre-se do que significa ordem de grandeza. Então use e .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a população mundial. A questão nos dá alguns dados de população em anos específicos e quer saber qual será a ordem de grandeza da população no ano 3000, assumindo que ela dobra a cada 50 anos. A matéria envolvida aqui é crescimento exponencial e logaritmos. Vamos precisar entender como calcular o crescimento exponencial e usar logaritmos para encontrar a ordem de grandeza.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto de partida. Em 2000, a população era de aproximadamente 6,12 bilhões. A gente precisa ver quantas vezes a população dobra até o ano 3000. Para isso, vamos calcular quantos períodos de 50 anos há entre 2000 e 3000.

Passo 3

Vamos calcular quantos anos se passam de 2000 a 3000. São 1000 anos. Se a população dobra a cada 50 anos, então o número de duplicações será:
çõ

Passo 4

Agora, precisamos calcular quanto a população vai ser depois dessas 20 duplicações. Se ela dobra 20 vezes, a população final será:
õ
Mas isso é um número bem grande, então vamos usar logaritmos para facilitar a estimativa da ordem de grandeza.

Passo 5

Vamos usar o logaritmo na base 10. Sabemos que:
Assim, temos:
Somando esses resultados:

Passo 6

A ordem de grandeza é baseada na potência de 10 mais próxima. Como 6,8 está mais próximo de 7, a ordem de grandeza da população no ano 3000 será:

Resposta

A ordem de grandeza da população no ano 3000 será de aproximadamente .

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A interação gravitacional é descrita pela força dada por
onde e são as massas dos corpos, a distância entre seus centros, a constante da gravitação de Newton.
Você pode fazer a mesma análise para a razão entre as gravidades da Terra e da Lua, respectivamente, a pequenas alturas na superfície da Lua. Nesse caso, o que se conclui sobre a influência da gravidade da Terra no movimento de astronautas quando estiveram na Lua?
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Seja o vetor , no plano , de magnitude e que faz um ângulo de com o sentido positivo do eixo . Desenhe e escreva sua expressão algébrica (com os versores cartesianos) caso o ângulo acima seja medido:
Em sentido horário.
O chamado
Desenhe os eixos e no padrão usual (horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente), e esboce os seguintes vetores:
.
Determine, para cada um destes vetores: o módulo; e o ângulo que faz com o eixo positivo, considerando os ângulos entre e .