Chamamos terna pitagórica primitiva a um terno (
de números inteiros positivos c , b e a, que não têm divisores em comum diferentes de +1 , de sorte que
. Ou seja, c, b, a são mutuamente primos entre si e são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo de lados inteiros. Estes números possuem várias propriedades interessantes. Mostre uma dessas propriedades: em uma terna pitagórica primitiva, os catetos não podem ser simultaneamente pares, como também não podem ser simultânea mente impares.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Estamos lidando com ternas pitagóricas primitivas, que são conjuntos de três números inteiros positivos
,
e
que satisfazem a equação
e não têm divisores em comum além de 1. Ou seja,
,
e
são primos entre si. A gente precisa mostrar uma propriedade dessas ternas: os catetos
e
não podem ser ambos pares ou ambos ímpares ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa os catetos serem ambos pares. Se
e
são pares, isso quer dizer que existem inteiros
e
tais que:
Substituindo na equação da terna pitagórica:
Isso implica que
é múltiplo de 4, então
também deve ser par, já que o quadrado de um número ímpar não é múltiplo de 4. Então,
é par.
Mas aí temos que
,
e
são todos pares, ou seja, têm pelo menos o divisor 2 em comum. Isso contradiz a definição de terna pitagórica primitiva, que diz que eles não podem ter divisores comuns além de 1. Portanto, os catetos não podem ser ambos pares.
Passo 3
Agora, vamos supor que os catetos
e
são ambos ímpares. Isso significa que podemos escrever:
onde
e
são inteiros. Vamos calcular
:
Isso mostra que
é igual a
, ou seja,
deixa resto 2 quando dividido por 4. Mas sabemos que os quadrados dos números inteiros só deixam resto 0 ou 1 quando divididos por 4:
Logo,
não pode deixar resto 2, o que é impossível. Portanto, os catetos não podem ser ambos ímpares.
Resposta
Em uma terna pitagórica primitiva, os catetos
e
não podem ser simultaneamente pares nem simultaneamente ímpares.
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e
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