Chamamos terna pitagórica primitiva a um terno ( c, b, a de números inteiros positivos c , b e a, que não têm divisores em comum diferentes de +1 , de sorte que c^2 = a^2 + b^2. Ou seja, c, b, a são mutuamente primos entre si e são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo de lados inteiros. Estes números possuem várias propriedades interessantes. Mostre uma dessas propriedades: em uma terna pitagórica primitiva, os catetos não podem ser simultaneamente pares, como também não podem ser simultânea mente impares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Estamos lidando com ternas pitagóricas primitivas, que são conjuntos de três números inteiros positivos , e que satisfazem a equação e não têm divisores em comum além de 1. Ou seja, , e são primos entre si. A gente precisa mostrar uma propriedade dessas ternas: os catetos e não podem ser ambos pares ou ambos ímpares ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa os catetos serem ambos pares. Se e são pares, isso quer dizer que existem inteiros e tais que:
Substituindo na equação da terna pitagórica:
Isso implica que é múltiplo de 4, então também deve ser par, já que o quadrado de um número ímpar não é múltiplo de 4. Então, é par.
Mas aí temos que , e são todos pares, ou seja, têm pelo menos o divisor 2 em comum. Isso contradiz a definição de terna pitagórica primitiva, que diz que eles não podem ter divisores comuns além de 1. Portanto, os catetos não podem ser ambos pares.

Passo 3

Agora, vamos supor que os catetos e são ambos ímpares. Isso significa que podemos escrever:
onde e são inteiros. Vamos calcular :
Isso mostra que é igual a , ou seja, deixa resto 2 quando dividido por 4. Mas sabemos que os quadrados dos números inteiros só deixam resto 0 ou 1 quando divididos por 4:
Logo, não pode deixar resto 2, o que é impossível. Portanto, os catetos não podem ser ambos ímpares.

Resposta

Em uma terna pitagórica primitiva, os catetos e não podem ser simultaneamente pares nem simultaneamente ímpares.

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