Prove que: O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema pede. Precisamos provar que o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é sempre irracional. Para isso, vamos usar conceitos de números racionais e irracionais, além de propriedades das operações com esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como a razão de dois inteiros, ou seja,
onde
e
são inteiros e
. Já um número irracional não pode ser expresso dessa maneira; ele tem uma expansão decimal infinita e não periódica.
Passo 3
Agora, vamos considerar um número racional não nulo, digamos
, onde
e
são inteiros e
. E seja
um número irracional. Queremos provar que
é irracional.
Passo 4
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
seja racional. Se for racional, podemos escrevê-lo como
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 5
Vamos resolver essa igualdade para
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso implica que:
Passo 6
Observe que
é o produto de dois números racionais (
e
é um inteiro, portanto racional), o que resulta em um número racional. Dividindo esse resultado por
(também um inteiro e, portanto, racional), obtemos um número racional para
.
Passo 7
Mas isso é uma contradição, porque assumimos que
é irracional. Nossa suposição de que
é racional leva a uma conclusão falsa.
Resposta
Portanto, o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é, de fato, um número irracional.