Prove que: O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Precisamos provar que o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é sempre irracional. Para isso, vamos usar conceitos de números racionais e irracionais, além de propriedades das operações com esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como a razão de dois inteiros, ou seja, onde e são inteiros e . Já um número irracional não pode ser expresso dessa maneira; ele tem uma expansão decimal infinita e não periódica.

Passo 3

Agora, vamos considerar um número racional não nulo, digamos , onde e são inteiros e . E seja um número irracional. Queremos provar que é irracional.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que seja racional. Se for racional, podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros e .

Passo 5

Vamos resolver essa igualdade para . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso implica que:

Passo 6

Observe que é o produto de dois números racionais ( e é um inteiro, portanto racional), o que resulta em um número racional. Dividindo esse resultado por (também um inteiro e, portanto, racional), obtemos um número racional para .

Passo 7

Mas isso é uma contradição, porque assumimos que é irracional. Nossa suposição de que é racional leva a uma conclusão falsa.

Resposta

Portanto, o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é, de fato, um número irracional.

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