Prove que: O quociente de um número racional não nulo por um outro irracional é um número irracional.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Precisamos provar que o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é sempre irracional. Para isso, vamos usar conceitos de números racionais e irracionais, além de propriedades das operações com esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como a razão de dois inteiros, ou seja, onde e são inteiros e . Já um número irracional não pode ser expresso dessa maneira; ele tem uma expansão decimal infinita e não periódica.

Passo 3

Agora, vamos considerar um número racional não nulo, digamos , onde e são inteiros e . E seja um número irracional. Queremos provar que é irracional.

Passo 4

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que seja racional. Se for racional, podemos escrevê-lo como , onde e são inteiros e .

Passo 5

Vamos resolver essa igualdade para . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso implica que:

Passo 6

Observe que é o produto de dois números racionais ( e é um inteiro, portanto racional), o que resulta em um número racional. Dividindo esse resultado por (também um inteiro e, portanto, racional), obtemos um número racional para .

Passo 7

Mas isso é uma contradição, porque assumimos que é irracional. Nossa suposição de que é racional leva a uma conclusão falsa.

Resposta

Portanto, o quociente de um número racional não nulo por um número irracional é, de fato, um número irracional.

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Chamamos terna pitagórica primitiva a um terno ( de números inteiros positivos c , b e a, que não têm divisores em comum diferentes de +1 , de sorte que . Ou seja, c, b, a são mutuamente primos entre si e são, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo de lados inteiros. Estes números possuem várias propriedades interessantes. Mostre uma dessas propriedades: em uma terna pitagórica primitiva, os catetos não podem ser simultaneamente pares, como também não podem ser simultânea mente impares.
Suponha que seja o conjunto dos veteranos de sua faculdade e , o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de e .
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Suponha que seja o conjunto dos veteranos de sua faculdade e , o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de e .
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Demonstre que: Partindo do fato de que já se conheça a irracionalidade de , prove que é um número irracional. Formule uma generalização desse fato. Usando que é um número irracional prove que é número irracional. Generalize esse resultado.