Dados os pontos e , obter o circuncentro do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o circuncentro do triângulo formado pelos pontos , e . O circuncentro é um ponto especial que é o centro do círculo circunscrito ao triângulo, ou seja, o círculo que passa por todos os três vértices do triângulo. Para encontrar ele, vamos precisar saber sobre perpendicular bisetores e como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o circuncentro é o ponto onde as perpendicular bisetores de dois lados do triângulo se encontram. Então, a gente vai escolher dois lados do triângulo para trabalhar. Vamos começar com os lados e .
Passo 3
Vamos encontrar o ponto médio de cada um desses lados. O ponto médio de um segmento de reta com pontos e é dado por:
Para o lado :
Para o lado :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação (slope) de cada lado. A inclinação de uma reta que passa por e é:
Para o lado :
Para o lado :
Passo 5
As perpendicular bisetores têm inclinações que são os inversos negativos das inclinações dos lados correspondentes. Então:
Passo 6
Agora, vamos escrever as equações das perpendicular bisetores usando a forma da equação da reta:
Para a bisetora de que passa pelo ponto médio :
Simplificando:
Para a bisetora de que passa pelo ponto médio :
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas bisetores para encontrar o ponto de interseção, que será o circuncentro:
Igualando as duas expressões para :
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
Agora, somando em ambos os lados:
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Dividindo por 25:
Agora, substituindo em uma das equações para encontrar , vamos usar a segunda: