Dados os pontos A=(8,11), B=(-4,-5) e C=(-6,9), obter o circuncentro do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o circuncentro do triângulo formado pelos pontos , e . O circuncentro é um ponto especial que é o centro do círculo circunscrito ao triângulo, ou seja, o círculo que passa por todos os três vértices do triângulo. Para encontrar ele, vamos precisar saber sobre perpendicular bisetores e como resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o circuncentro é o ponto onde as perpendicular bisetores de dois lados do triângulo se encontram. Então, a gente vai escolher dois lados do triângulo para trabalhar. Vamos começar com os lados e .

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio de cada um desses lados. O ponto médio de um segmento de reta com pontos ( x1 + x22, y1 + y22 ) e Médio de AB = ( 8 + (-4)2, 11 + (-5)2 ) = ( 42, 62 ) = (2, 3) é dado por:
Médio de AC = ( 8 + (-6)2, 11 + 92 ) = ( 22, 202 ) = (1, 10)
Para o lado :
é
Para o lado :
é

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação (slope) de cada lado. A inclinação de uma reta que passa por m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = -5 - 11-4 - 8 = -16-12 = 43 é:
mAC = 9 - 11-6 - 8 = -2-14 = 17
Para o lado :
Para o lado :

Passo 5

As perpendicular bisetores têm inclinações que são os inversos negativos das inclinações dos lados correspondentes. Então:
mperp AB = -1mAB = -143 = -34
mperp AC = -1mAC = -117 = -7

Passo 6

Agora, vamos escrever as equações das perpendicular bisetores usando a forma da equação da reta:
y - ym = m (x - xm)
Para a bisetora de y - 3 = -34 (x - 2) que passa pelo ponto médio y = -34x + 32 + 3 :
y = -34x + 92
Simplificando:
y - 10 = -7 (x - 1)
y = -7x + 7 + 10
Para a bisetora de y = -7x + 17 que passa pelo ponto médio :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas duas bisetores para encontrar o ponto de interseção, que será o circuncentro:
y = -34x + 92 y = -7x + 17
Igualando as duas expressões para - 34x + 92 = -7x + 17 :
-3x + 18 = -28x + 68
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
25x + 18 = 68
Agora, somando 25x = 50 em ambos os lados:
x = 2
Subtraindo 18 de ambos os lados:
y = -7(2) + 17 = -14 + 17 = 3
Dividindo por 25:
Agora, substituindo em uma das equações para encontrar , vamos usar a segunda:

Resposta

O circuncentro do triângulo está no ponto .

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