Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em que direção o potencial elétrico
aumenta mais rápido e em que direção ele diminui mais rápido. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente na matéria de eletrostática, que nos ajuda a encontrar essas direções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
através da fórmula:
Aqui,
é o gradiente de
, que aponta na direção de maior aumento de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente em duas dimensões é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 5
Agora, sabemos que a direção em que o potencial aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do gradiente
. Já a direção em que ele diminui mais rapidamente é a direção oposta a
, ou seja,
.
Passo 6
Vamos resumir:
- Direção de aumento mais rápido:
- Direção de diminuição mais rápido:
Resposta
O potencial elétrico
aumenta mais rapidamente na direção do gradiente
e diminui mais rapidamente na direção oposta, ou seja, na direção de
.