Se o potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano x y é V(x, y) então o vetor campo elétrico no ponto (x, y) é E = -V V. Suponha que V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y).
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir em que direção o potencial elétrico aumenta mais rápido e em que direção ele diminui mais rápido. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente na matéria de eletrostática, que nos ajuda a encontrar essas direções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico através da fórmula:
Aqui, é o gradiente de , que aponta na direção de maior aumento de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente em duas dimensões é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 5

Agora, sabemos que a direção em que o potencial aumenta mais rapidamente é exatamente a direção do gradiente . Já a direção em que ele diminui mais rapidamente é a direção oposta a , ou seja, .

Passo 6

Vamos resumir:
  • Direção de aumento mais rápido:
  • Direção de diminuição mais rápido:

Resposta

O potencial elétrico aumenta mais rapidamente na direção do gradiente e diminui mais rapidamente na direção oposta, ou seja, na direção de .

Exercícios relacionados