Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados:
, no ponto
. [Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação
e precisa achar a derivada
no ponto
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções que não estão isoladas (ou seja, quando
está misturado com
na equação).
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo
. Aplicando a regra do produto:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar o segundo termo
. Novamente, usando a regra do produto:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação, que é uma constante
, temos:
Passo 6
Agora, juntando tudo que derivamos:
Substituindo as derivadas:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, juntamos os termos que têm
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
b)
b)
c)
Seja
b) Mostre que não é diferenciável em
.
b) Mostre que
Uma chapa retangular
é determinada pelas retas
e
. A temperatura da chapa é
. Determinar o ponto mais quente e o ponto mais frio da chapa.