Considere as seguintes funções y(x) definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados: x y^2 + x^2 y = 6, no ponto p = (2, 1). [Resp: y' (x) = - (2 x y + y^2) / (2 x y + x^2) ; y'(2) = - 5 / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação e precisa achar a derivada no ponto . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar funções que não estão isoladas (ou seja, quando está misturado com na equação).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo . Aplicando a regra do produto:
Sabemos que e . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo . Novamente, usando a regra do produto:
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, que é uma constante , temos:

Passo 6

Agora, juntando tudo que derivamos:
Substituindo as derivadas:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, juntamos os termos que têm :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Passo 9

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão:

Resposta

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