Encontre a área da região limitada pela parábola y^2 = 2x + 6 e pela reta x = y + 1.18

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela parábola e pela reta . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da reta na equação da parábola:
Agora, temos uma equação quadrática em . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de nos pontos de interseção.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção têm as ordens e .

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de para calcular a área entre as curvas. A área entre duas curvas é dada por:
No nosso caso, é a reta e é a parábola .
Então:

Passo 5

Vamos agora integrar a função em relação a :
Calculando nos limites de e :
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pela parábola e pela reta é aproximadamente 18.13 unidades de área.

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