Encontre a área da região limitada pela parábola
e pela reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela parábola
e pela reta
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integrais para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da reta na equação da parábola:
Agora, temos uma equação quadrática em
. Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
nos pontos de interseção.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção têm as ordens
e
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
para calcular a área entre as curvas. A área
entre duas curvas é dada por:
No nosso caso,
é a reta
e
é a parábola
.
Então:
Passo 5
Vamos agora integrar a função
em relação a
:
Calculando nos limites de
e
:
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pela parábola
e pela reta
é aproximadamente 18.13 unidades de área.