A região delimitada pelos gráficos de e pelas retas verticais e , gira em torno do eixo . Determine o volume do sólido resultante.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a área delimitada pelas curvas , e pelas retas verticais e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos anéis (também conhecido como método dos discos) e um pouquinho de cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a área que estamos girando. As curvas e se intersectam nos pontos onde . Resolvendo isso:
Então, a região que estamos olhando está entre e .

Passo 3

Agora, como estamos girando essa região em torno do eixo , precisamos ajustar nossa fórmula de volume para considerar essa distância. O método dos anéis nos diz que o volume pode ser encontrado integrando a diferença das áreas dos círculos maiores e menores formados pelo giro.
A fórmula geral para o volume é:
onde:
  • é o raio externo (distância do eixo de rotação à curva mais distante),
  • é o raio interno (distância do eixo de rotação à curva mais próxima).

Passo 4

Vamos identificar e para as nossas curvas. Como o eixo de rotação é :
  • Para : a distância até é .
  • Para : a distância até é .
Então:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Subtraindo:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então:

Passo 7

Agora, vamos avaliar a integral de a :
Calculando os termos dentro dos parênteses:

Resposta

Então, o volume do sólido resultante é:

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