A região delimitada pelos gráficos de
e pelas retas verticais
e
, gira em torno do eixo
. Determine o volume do sólido resultante.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a área delimitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos anéis (também conhecido como método dos discos) e um pouquinho de cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a área que estamos girando. As curvas
e
se intersectam nos pontos onde
. Resolvendo isso:
Então, a região que estamos olhando está entre
e
.
Passo 3
Agora, como estamos girando essa região em torno do eixo
, precisamos ajustar nossa fórmula de volume para considerar essa distância. O método dos anéis nos diz que o volume
pode ser encontrado integrando a diferença das áreas dos círculos maiores e menores formados pelo giro.
A fórmula geral para o volume é:
onde:
-
é o raio externo (distância do eixo de rotação à curva mais distante), -
é o raio interno (distância do eixo de rotação à curva mais próxima).
Passo 4
Vamos identificar
e
para as nossas curvas. Como o eixo de rotação é
:
- Para
: a distância até é . - Para
: a distância até é .
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a integral de
a
:
Calculando os termos dentro dos parênteses:
Resposta
Então, o volume do sólido resultante é:
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