A che , tal que a medida em radianos do ângulo entre os vetores e seja .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja radianos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que conecta o ângulo entre eles com suas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
Onde:
  • é o produto escalar,
  • e são as magnitudes dos vetores,
  • é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar . Multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e . A magnitude de um vetor é:
Então:

Passo 5

Sabemos que o ângulo . Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
Sabendo que , vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Vamos organizar a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :

Passo 9

Temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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Ex. 2.3 - Dados e desenhe o triângulo e ache:
d) O vetor
Dado o vetor , represente graficamente as projeções do vetor com os planos coordenados e com os eixos coordenados e .
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Ex. 2.3 - Dados e desenhe o triângulo e ache:
e) O ponto médio do segmento