A che
, tal que a medida em radianos do ângulo entre os vetores
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre os vetores
e
seja
radianos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que conecta o ângulo entre eles com suas magnitudes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Onde:
-
é o produto escalar, -
e são as magnitudes dos vetores, -
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é:
Então:
Passo 5
Sabemos que o ângulo
. Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
Sabendo que
, vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 7
Vamos organizar a equação:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Passo 9
Temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.