A che k, tal que a medida em radianos do ângulo entre os vetores A=3 i+2 j e B=2 i+k j seja 14 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os vetores e seja radianos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores, que conecta o ângulo entre eles com suas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores A cdot B = |A| times |B| times cos(theta) e é dado por:
Onde:
  • é o produto escalar,
  • e são as magnitudes dos vetores,
  • é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B = (3)(2) + (2)(k) = 6 + 2k . Multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |V| = raiza^2 + b^2 e |A| = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 . A magnitude de um vetor |B| = raiz2^2 + k^2 = raiz4 + k^2 é:
Então:

Passo 5

Sabemos que o ângulo 6 + 2k = raiz13 times raiz4 + k^2 times cos(14pi) . Substituindo tudo na fórmula do produto escalar:
6 + 2k = raiz13 times raiz4 + k^2 times raiz22
Sabendo que 12 + 4k = raiz26 times raiz4 + k^2 , vamos simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(12 + 4k)^2 = (raiz26)^2 times (4 + k^2)
144 + 96k + 16k^2 = 26(4 + k^2)
144 + 96k + 16k^2 = 104 + 26k^2

Passo 7

Vamos organizar a equação:
16k^2 + 96k + 144 - 104 - 26k^2 = 0
-10k^2 + 96k + 40 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
10k^2 - 96k - 40 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
k = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde k = 96 pm raiz(-96)^2 - 4 times 10 times (-40)20 , k = 96 pm raiz9216 + 160020 e k = 96 pm raiz1081620 :
k = 96 pm 10420

Passo 9

Temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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