Dado o vetor v=-7 i+2 j-3 k, represente graficamente as projeções do vetor v com os planos coordenados x y, x z, y z e com os eixos coordenados x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar, de forma gráfica, as projeções do vetor v = -7 i + 2 j - 3 k nos planos coordenados xy, xz, yz e também nos eixos x, y e z. Isso envolve entender como projetar um vetor em diferentes planos e eixos, utilizando conceitos de geometria vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como calcular projeções vetoriais e identificar as componentes de v.

Passo 2

Primeiro, vamos projetar o vetor v no plano xy. A projeção no plano xy significa “achatar” o vetor sobre esse plano, ou seja, ignorar a componente z. Matemáticamente, a projeção vxy fica assim:
vxy = -7 i + 2 j + 0 k
Aqui, simplesmente colocamos a componente k igual a zero porque estamos ignorando a altura no eixo z.

Passo 3

Agora, vamos projetar o vetor no plano xz. Isso significa ignorar a componente y. A projeção vxz fica:
vxz = -7 i + 0 j - 3 k
Novamente, colocamos a componente j igual a zero porque estamos achando o vetor “achatado” no plano xz.

Passo 4

Seguimos para a projeção no plano yz. Aqui, ignoramos a componente x. A projeção vyz fica:
vyz = 0 i + 2 j - 3 k
Colocamos a componente i igual a zero para achatar o vetor no plano yz.

Passo 5

Além das projeções nos planos, devemos projetar o vetor nos eixos coordenados. Vamos começar pelo eixo x. A projeção no eixo x é um vetor que só tem a componente x de v:
vx = -7 i + 0 j + 0 k

Passo 6

Vamos para a projeção no eixo y. Aqui, só mantemos a componente y:
vy = 0 i + 2 j + 0 k

Passo 7

Por fim, a projeção no eixo z. Mantemos apenas a componente z:
vz = 0 i + 0 j - 3 k

Resposta

As projeções do vetor v = -7 i + 2 j - 3 k são:
  • Plano xy: vxy = -7 i + 2 j
  • Plano xz: vxz = -7 i - 3 k
  • Plano yz: vyz = 2 j - 3 k
  • Eixo x: vx = -7 i
  • Eixo y: vy = 2 j
  • Eixo z: vz = -3 k

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