Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a equação nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso está dentro da matéria de sistemas de coordenadas no espaço, onde usamos diferentes formas para representar superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usar , e , usamos , e , onde:
é a distância do ponto à origem no plano ,
é o ângulo em relação ao eixo ,
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação usando essas relações. Substituindo e :
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos , e , onde:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 5
Vamos reescrever a equação usando as coordenadas esféricas: