Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a equação nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso está dentro da matéria de sistemas de coordenadas no espaço, onde usamos diferentes formas para representar superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usar , e , usamos , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação usando essas relações. Substituindo e :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 5

Vamos reescrever a equação usando as coordenadas esféricas:
Novamente, como :

Resposta

As equações da superfície são:
  • Coordenadas Cilíndricas:
  • Coordenadas Esféricas:

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A che , tal que a medida em radianos do ângulo entre os vetores e seja .
Ex. 2.3 - Dados e desenhe o triângulo e ache:
d) O vetor
Ex. 2.3 - Dados e desenhe o triângulo e ache:
e) O ponto médio do segmento
Considere o paralelepípedo determinado pelos vetores no espaço e .
b) Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo.