Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
(d) x^2+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a equação nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso está dentro da matéria de sistemas de coordenadas no espaço, onde usamos diferentes formas para representar superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usar x = r cos theta , y = r sin theta e z = z , usamos , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 9 usando essas relações. Substituindo r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = 9 e r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 9 :
r^2 = 9
r = 3
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos x = rho sin phi cos theta , y = rho sin phi sin theta e z = rho cos phi , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo ,
  • é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 5

Vamos reescrever a equação (rho sin phi cos theta)^2 + (rho sin phi sin theta)^2 = 9 usando as coordenadas esféricas:
rho^2 sin^2 phi cos^2 theta + rho^2 sin^2 phi sin^2 theta = 9
rho^2 sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = 9
rho^2 sin^2 phi = 9
Novamente, como rho sin phi = 3 :

Resposta

As equações da superfície são:
  • Coordenadas Cilíndricas:
  • Coordenadas Esféricas:

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