Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a equação
nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso está dentro da matéria de sistemas de coordenadas no espaço, onde usamos diferentes formas para representar superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, em vez de usar
,
e
, usamos
,
e
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação
usando essas relações. Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos
,
e
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico.
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 5
Vamos reescrever a equação
usando as coordenadas esféricas:
Novamente, como
:
Resposta
As equações da superfície
são:
- Coordenadas Cilíndricas:
- Coordenadas Esféricas: