Considere o PVI, dado a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma equação diferencial:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Vamos fazer uma substituição simples: seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Voltando à equação:
Dividimos ambos os lados por
(desde que
):
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
(w)
.
Chegue à formula de volume utilizando Somas de Riemann e cascas cilíndricas:
para o sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pela curva
e o eixo
.
É verdadeiro ou falso?
Para todo temos
.
Para todo
(a)
.