Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos lá! O exercício que temos aqui pede para que a gente determine o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo vetorial que vamos analisar é
. Para resolver isso, precisamos entender o que são rotacional e divergente. Rotacional é uma medida da circulação de um vetor em torno de um ponto, enquanto divergente mede a “saída” de um vetor em um ponto. Vamos calcular um por um.
Passo 2
Divergente: O divergente de um campo vetorial
é calculado pela fórmula:
No nosso caso,
,
e
. Agora vamos calcular cada derivada.
-
Calculando
: -
não depende de , então .
-
-
Calculando
: -
. Usando a regra da cadeia, temos que , pois não depende de .
-
-
Calculando
: -
também não depende de , então .
-
Agora, juntando tudo, temos:
Passo 3
Rotacional: O rotacional de um campo vetorial
é dado pela fórmula:
Precisamos calcular agora cada uma dessas derivadas.
-
Calculando
: -
, então .
-
-
Calculando
: -
, logo, .
-
-
Calculando
: - Como
, temos que .
- Como
-
Calculando
: - Para
, então .
- Para
-
Calculando
: -
, então .
-
-
Calculando
: -
, então .
-
Agora, substituindo tudo na fórmula do rotacional:
Resposta
Portanto, temos que o divergente de
é
e o rotacional de
é