Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(b) F(x, y, z)=sen(y z) i+sen(z x) j+sen(x y) k

Passo 1

Vamos lá! O exercício que temos aqui pede para que a gente determine o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo vetorial que vamos analisar é F(x, y, z)=sen(y z) i+sen(z x) j+sen(x y) k. Para resolver isso, precisamos entender o que são rotacional e divergente. Rotacional é uma medida da circulação de um vetor em torno de um ponto, enquanto divergente mede a “saída” de um vetor em um ponto. Vamos calcular um por um.

Passo 2

Divergente: O divergente de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é calculado pela fórmula:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = sen(y z), Q = sen(z x) e R = sen(x y). Agora vamos calcular cada derivada.
  1. Calculando partial Ppartial x:
    • P = sen(y z) não depende de x, então partial Ppartial x = 0.
  2. Calculando partial Qpartial y:
    • Q = sen(z x). Usando a regra da cadeia, temos que partial Qpartial y = 0, pois Q não depende de y.
  3. Calculando partial Rpartial z:
    • R = sen(x y) também não depende de z, então partial Rpartial z = 0.
Agora, juntando tudo, temos:
div F = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 3

Rotacional: O rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado pela fórmula:
rot F = nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i - ( partial Rpartial x - partial Ppartial z ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Precisamos calcular agora cada uma dessas derivadas.
  1. Calculando partial Rpartial y:
    • R = sen(x y), então partial Rpartial y = x cos(x y).
  2. Calculando partial Qpartial z:
    • Q = sen(z x), logo, partial Qpartial z = x cos(z x).
  3. Calculando partial Rpartial x:
    • Como R = sen(x y), temos que partial Rpartial x = y cos(x y).
  4. Calculando partial Ppartial z:
    • Para P = sen(y z), então partial Ppartial z = y cos(y z).
  5. Calculando partial Qpartial x:
    • Q = sen(z x), então partial Qpartial x = z cos(z x).
  6. Calculando partial Ppartial y:
    • P = sen(y z), então partial Ppartial y = z cos(y z).
Agora, substituindo tudo na fórmula do rotacional:
rot F = ( x cos(x y) - x cos(z x) ) i - ( y cos(x y) - y cos(y z) ) j + ( z cos(z x) - z cos(y z) ) k

Resposta

Portanto, temos que o divergente de F é 0 e o rotacional de F é
rot F = ( x cos(x y) - x cos(z x) ) i - ( y cos(x y) - y cos(y z) ) j + ( z cos(z x) - z cos(y z) ) k

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