Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
(b)

Passo 1

Vamos lá! O exercício que temos aqui pede para que a gente determine o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo vetorial que vamos analisar é . Para resolver isso, precisamos entender o que são rotacional e divergente. Rotacional é uma medida da circulação de um vetor em torno de um ponto, enquanto divergente mede a “saída” de um vetor em um ponto. Vamos calcular um por um.

Passo 2

Divergente: O divergente de um campo vetorial é calculado pela fórmula:
No nosso caso, , e . Agora vamos calcular cada derivada.
  1. Calculando :
    • não depende de , então .
  2. Calculando :
    • . Usando a regra da cadeia, temos que , pois não depende de .
  3. Calculando :
    • também não depende de , então .
Agora, juntando tudo, temos:

Passo 3

Rotacional: O rotacional de um campo vetorial é dado pela fórmula:
Precisamos calcular agora cada uma dessas derivadas.
  1. Calculando :
    • , então .
  2. Calculando :
    • , logo, .
  3. Calculando :
    • Como , temos que .
  4. Calculando :
    • Para , então .
  5. Calculando :
    • , então .
  6. Calculando :
    • , então .
Agora, substituindo tudo na fórmula do rotacional:

Resposta

Portanto, temos que o divergente de é e o rotacional de é

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