(7) Suparacias de variáueis,
& u(x, y)=x y partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 & y x^prime prime+x y^prime prime=0 -x^prime primex=y^prime primey=-lambda^2 & (1) x^prime prime-lambda^2 x=0 u (2) y^prime prime+lambda^2 y=0 & De(2)=M(y)=A cos (lambda y)+B sin (lambda y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial importante em várias áreas da física e matemática. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e somá-las. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial upartial x = y em relação a partial^2 upartial x^2 = 0 . A função é .
Então, a segunda derivada de em relação a é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial upartial y = x em relação a partial^2 upartial y^2 = 0 .
Assim, a segunda derivada de em relação a também é zero.

Passo 4

A equação de Laplace diz que a soma das segundas derivadas deve ser igual a zero:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 + 0 = 0
Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos seguir para a separação de variáveis. A ideia aqui é escrever a equação de Laplace de uma forma que possamos separar as variáveis y cdot x'' + x cdot y'' = 0 e -x''x = y''y = -lambda^2 .
Começamos com:
Podemos rearranjar isso para:
Aqui, introduzimos uma constante de separação para facilitar a resolução das equações.

Passo 6

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para x'' - lambda^2 x = 0 :
y'' + lambda^2 y = 0
  1. Para :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Começando com a equação para y'' + lambda^2 y = 0 :
y(x) = A cos(lambda x) + B sin(lambda x)
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno.

Passo 8

Portanto, a solução da equação para M(y) = A cos(lambda y) + B sin(lambda y) é:

Resposta

A solução geral da equação de Laplace usando separação de variáveis é:
M(y) = A cos(lambda y) + B sin(lambda y)
Onde e são constantes arbitrárias, e é a constante de separação.

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