(7) Suparacias de variáueis,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial importante em várias áreas da física e matemática. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
e somá-las. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função é
.
Então, a segunda derivada de
em relação a
é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Assim, a segunda derivada de
em relação a
também é zero.
Passo 4
A equação de Laplace diz que a soma das segundas derivadas deve ser igual a zero:
Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos seguir para a separação de variáveis. A ideia aqui é escrever a equação de Laplace de uma forma que possamos separar as variáveis
e
.
Começamos com:
Podemos rearranjar isso para:
Aqui, introduzimos uma constante de separação
para facilitar a resolução das equações.
Passo 6
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Começando com a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno.
Passo 8
Portanto, a solução da equação para
é:
Resposta
A solução geral da equação de Laplace usando separação de variáveis é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a constante de separação.