(7) Suparacias de variáueis,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e queremos verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial importante em várias áreas da física e matemática. Para isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e somá-las. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a . A função é .
Então, a segunda derivada de em relação a é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Assim, a segunda derivada de em relação a também é zero.

Passo 4

A equação de Laplace diz que a soma das segundas derivadas deve ser igual a zero:
Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos seguir para a separação de variáveis. A ideia aqui é escrever a equação de Laplace de uma forma que possamos separar as variáveis e .
Começamos com:
Podemos rearranjar isso para:
Aqui, introduzimos uma constante de separação para facilitar a resolução das equações.

Passo 6

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Começando com a equação para :
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno.

Passo 8

Portanto, a solução da equação para é:

Resposta

A solução geral da equação de Laplace usando separação de variáveis é:
Onde e são constantes arbitrárias, e é a constante de separação.

Exercícios relacionados

Encontre o Campo resultante na posição , devido a ação de quatro cargas positivas de igual módulo , posicionadas no plano xy em: e .
Um elétron acelera do repouso em um campo elétrico uniforme até uma velocidade de em uma distância de 14 mm . Qual é o módulo do campo elétrico?
Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões . Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é dada por:
( )
Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões . Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é dada por:
( )