Um ciclista, juntamente com sua bicicleta, têm massa de 80 kg. Ao descer livremente um declive de 1 m por 50 apresenta uma velocidade constante de
; Ao descer um declive de 1 por 20 apresenta uma velocidade de
. O ciclista continua na bicicleta num plano horizontal, sem pedalar, agarrado à traseira de um caminhão. Determine a potência desprendida pelo caminhão ao manter sua velocidade de
. Admita que a resistência do ar varie com a expressão
, enquanto que as forças de atrito se mantêm inalteradas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ciclista com sua bicicleta que juntos têm uma massa de 80 kg. Ele desce dois declives diferentes e alcança velocidades constantes de 4 m/s e 9 m/s em inclinações de 1 por 50 e 1 por 20, respectivamente. Depois, ele fica no caminhão que se move em uma superfície horizontal a 7 m/s. Queremos descobrir qual a potência que o caminhão precisa ter para manter essa velocidade constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Força, Resistência ao Movimento e Potência. Vamos também precisar entender como calcular a componente da força da gravidade em declives inclinados e como a resistência do ar afeta o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no ciclista enquanto ele desce o declive. Quando o ciclista está descendo a uma rampa inclinada, a força da gravidade pode ser dividida em duas componentes:
- Paralela à rampa (F_g_parallel): Tende a puxar o ciclista para baixo.
- Perpendicular à rampa (F_g_perpendicular): Aperta o ciclista contra a rampa.
Como estamos considerando velocidade constante, a força puxando para baixo é equilibrada pelas forças de resistência (ar e atrito).
A inclinação do declive é dada como 1 por 50 ou 1 por 20, o que significa que para cada 50 (ou 20) metros horizontais, há 1 metro de elevação. Podemos usar isso para encontrar o ângulo de inclinação (
).
A componente da força da gravidade paralela ao declive é dada por:
Onde:
-
= massa total (80 kg) -
= aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²) -
= ângulo de inclinação
Mas como a inclinação é dada como 1 por 50 ou 1 por 20, podemos usar:
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças de resistência. A resistência do ar é dada pela expressão:
Onde:
-
é uma constante que depende da forma e tamanho do ciclista e da bicicleta. -
é a velocidade.
Além disso, há uma força de atrito constante (
) que não depende da velocidade.
Como a velocidade é constante, a força puxando para baixo deve ser igual à soma das forças de resistência:
Vamos aplicar isso para os dois declives.
Passo 4
Para o declive de 1 por 50:
Como a velocidade é constante a 4 m/s:
Para o declive de 1 por 20:
Com velocidade constante a 9 m/s:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituindo o valor de
na Equação 1:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos calcular a resistência total quando o ciclista está no caminhão em uma superfície horizontal a 7 m/s.
Em uma superfície horizontal, a componente da força da gravidade paralela é zero, então as únicas resistências são:
Substituindo os valores:
Passo 7
Para encontrar a potência necessária para manter a velocidade constante, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a potência -
é a força total de resistência -
é a velocidade
Substituindo os valores:
Resposta
A potência desprendida pelo caminhão para manter a velocidade de 7 m/s é aproximadamente 193 watts.