Um ciclista, juntamente com sua bicicleta, têm massa de 80 kg. Ao descer livremente um declive de 1 m por 50 apresenta uma velocidade constante de 4 m / s; Ao descer um declive de 1 por 20 apresenta uma velocidade de 9 m / s. O ciclista continua na bicicleta num plano horizontal, sem pedalar, agarrado à traseira de um caminhão. Determine a potência desprendida pelo caminhão ao manter sua velocidade de 7 m / s. Admita que a resistência do ar varie com a expressão FR=Kv^2, enquanto que as forças de atrito se mantêm inalteradas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ciclista com sua bicicleta que juntos têm uma massa de 80 kg. Ele desce dois declives diferentes e alcança velocidades constantes de 4 m/s e 9 m/s em inclinações de 1 por 50 e 1 por 20, respectivamente. Depois, ele fica no caminhão que se move em uma superfície horizontal a 7 m/s. Queremos descobrir qual a potência que o caminhão precisa ter para manter essa velocidade constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Força, Resistência ao Movimento e Potência. Vamos também precisar entender como calcular a componente da força da gravidade em declives inclinados e como a resistência do ar afeta o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no ciclista enquanto ele desce o declive. Quando o ciclista está descendo a uma rampa inclinada, a força da gravidade pode ser dividida em duas componentes:
  • Paralela à rampa (F_g_parallel): Tende a puxar o ciclista para baixo.
  • Perpendicular à rampa (F_g_perpendicular): Aperta o ciclista contra a rampa.
Como estamos considerando velocidade constante, a força puxando para baixo é equilibrada pelas forças de resistência (ar e atrito).
A inclinação do declive é dada como 1 por 50 ou 1 por 20, o que significa que para cada 50 (ou 20) metros horizontais, há 1 metro de elevação. Podemos usar isso para encontrar o ângulo de inclinação ( theta).
A componente da força da gravidade paralela ao declive é dada por:
Fgparal<=l = m cdot g cdot sin(theta)
Onde:
  • m = massa total (80 kg)
  • g = aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²)
  • theta = ângulo de inclinação
Mas como a inclinação é dada como 1 por 50 ou 1 por 20, podemos usar:
sin(theta) = opostohipotenusa approx opostoadjacente = 150 ou 120

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças de resistência. A resistência do ar é dada pela expressão:
FR = K cdot v^2
Onde:
  • K é uma constante que depende da forma e tamanho do ciclista e da bicicleta.
  • v é a velocidade.
Além disso, há uma força de atrito constante ( Ff) que não depende da velocidade.
Como a velocidade é constante, a força puxando para baixo deve ser igual à soma das forças de resistência:
Fgparal<=l = FR + Ff
Vamos aplicar isso para os dois declives.

Passo 4

Para o declive de 1 por 50:
sin(theta1) = 150
Fgparal<=l1 = m cdot g cdot 150 = 80 cdot 9,8 cdot 150 = 15,68 , N
Como a velocidade é constante a 4 m/s:
15,68 = K cdot (4)^2 + Ff
15,68 = 16K + Ff (Equação 1) çã
Para o declive de 1 por 20:
sin(theta2) = 120
Fgparal<=l2 = m cdot g cdot 120 = 80 cdot 9,8 cdot 120 = 39,2 , N
Com velocidade constante a 9 m/s:
39,2 = K cdot (9)^2 + Ff
39,2 = 81K + Ff (Equação 2) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( K e Ff). Vamos resolver esse sistema.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
39,2 - 15,68 = 81K - 16K
23,52 = 65K
K = 23,5265 approx 0,362 , kg/m
Agora, substituindo o valor de K na Equação 1:
15,68 = 16 cdot 0,362 + Ff
15,68 = 5,792 + Ff
Ff = 15,68 - 5,792 approx 9,888 , N

Passo 6

Agora que temos os valores de K e Ff, podemos calcular a resistência total quando o ciclista está no caminhão em uma superfície horizontal a 7 m/s.
Em uma superfície horizontal, a componente da força da gravidade paralela é zero, então as únicas resistências são:
Ftotal = FR + Ff = K cdot v^2 + Ff
Substituindo os valores:
Ftotal = 0,362 cdot (7)^2 + 9,888 = 0,362 cdot 49 + 9,888 approx 17,738 + 9,888 = 27,626 , N

Passo 7

Para encontrar a potência necessária para manter a velocidade constante, usamos a fórmula:
P = F cdot v
Onde:
  • P é a potência
  • F é a força total de resistência
  • v é a velocidade
Substituindo os valores:
P = 27,626 cdot 7 approx 193 , W

Resposta

A potência desprendida pelo caminhão para manter a velocidade de 7 m/s é aproximadamente 193 watts.

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