Quando um ciclista se locomove até parar, ele está na realidade sujeito a duas forças, a força da resistência do ar quadrática, f=-Cv^2 e a força de atrito ffr de cerca de 3 N . A primeira é dominante para altas e médias velocidades; a última é dominante para baixas velocidades. (A força de atrito é uma combinação do atrito ordinário devido aos rolamentos e a rolagem dos pneus sobre a estrada). (a) Escreva a equação do movimento enquanto o ciclista está locomovendo-se até parar. Resolva essa equação por separação de variáveis para obter t como uma função de v. (b) Usando os dados do exercício 7 ( e o valor ffr=3 N dado acima), determine quanto tempo o ciclista leva para diminuir de 20 m / s para 15 m / s. Quanto tempo leva para diminuir para 10 e 5 m / s ? Quanto tempo até a parada total? Compare com as respostas que você obteve no exercício 7 , quando ignorou completamente o atrito.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ciclista que está desacelerando até parar devido a duas forças: a resistência do ar, que depende do quadrado da velocidade, e a força de atrito constante. Nosso objetivo é escrever a equação do movimento desse ciclista e resolver para encontrar o tempo em função da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no ciclista. A resistência do ar é dada por ma = -Cv^2 - ffr , onde é uma constante e é a velocidade. A força de atrito é constante e vale . A equação do movimento segundo a segunda lei de Newton fica:
Aqui, é a massa do ciclista e é a aceleração.

Passo 3

Como a aceleração m dvdt = -Cv^2 - ffr é a derivada da velocidade em relação ao tempo , temos . Substituindo na equação:
Queremos isolar para integrar e encontrar em função de .

Passo 4

Rearranjando a equação para separar as variáveis dv-Cv^2 - ffr = dtm e :
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre e .

Passo 5

A integração do lado esquerdo envolve uma fração racional. Podemos reescrever:
integral dv-Cv^2 - ffr = 1m integral dt
Integrando, temos:
1raizCffr arctan(vraizCraizffr) = -tm + K
Onde é a constante de integração. Para determinar , consideramos que em , a velocidade inicial é .

Passo 6

Aplicando a condição inicial 1raizCffr arctan(v0raizCraizffr) = K quando 1raizCffr arctan(vraizCraizffr) = -tm + 1raizCffr arctan(v0raizCraizffr) :
Substituindo de volta na equação geral:

Passo 7

Resolvendo para t = mraizCffr [ arctan(v0raizCraizffr) - arctan(vraizCraizffr) ] em função de :

Resposta

O tempo t = mraizC ffr [ arctan(v0 raizCraizffr) - arctan(v raizCraizffr) ] em função da velocidade é dado por:

Exercícios relacionados