Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa m está submetida a mover-se ao longo do eixo x sujeita a uma força F(v)=-F0 e^v / v, onde F0 e V são constantes. (a) Determine v(t) se a velocidade inicial for vo>0 no instante t=0. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa que está se movendo no eixo e está sujeita a uma força que depende da velocidade, dada por , onde e são constantes. A gente precisa descobrir três coisas:
a) A velocidade da massa em função do tempo, sabendo que no tempo a velocidade inicial é .
b) Quanto tempo leva para a massa parar instantaneamente.
c) A distância que a massa percorre antes de parar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e técnicas de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar F = m cdot a . Sabemos que a força é relacionada à massa e à aceleração pela segunda lei de Newton:
a = dvdt
A aceleração m cdot dvdt = -F0 e^v / V é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo na equação da força:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para .

Passo 3

Vamos separar as vari��veis m cdot dvdt = -F0 e^v / V Rightarrow dve^v / V = -F0m dt e integral dve^v / V = -F0m integral dt para integrar:
integral e^-v / V dv = -F0m t + C
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a e do lado direito com respeito a :
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Calculando a integral:
- V e^-v / V = -F0m t + C
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
V e^-v / V = F0m t - C
Agora, vamos determinar a constante V e^-v0 / V = -C Rightarrow C = -V e^-v0 / V usando a condição inicial V e^-v / V = F0m t + V e^-v0 / V :
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Isolando e^-v / V = F0m V t + e^-v0 / V :
-vV = ln( F0m V t + e^-v0 / V )
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
v(t) = -V ln( F0m V t + e^-v0 / V )
Multiplicando por -V:

Passo 6

Passando para a parte (b): Queremos encontrar o tempo v(t) = 0 = -V ln( F0m V t + e^-v0 / V ) quando a velocidade ln( F0m V t + e^-v0 / V ) = 0 chega a zero. Ou seja, encontrar F0m V t + e^-v0 / V = 1 tal que:
F0m V t = 1 - e^-v0 / V Rightarrow t = m VF0 ( 1 - e^-v0 / V )
Então:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 7

Por último, na parte ©, queremos saber a distância x = integral0^t v(t') dt' que a massa percorre antes de parar. Sabemos que:
x = integral0^t -V ln( F0m V t' + e^-v0 / V ) dt'
Usando a expressão para x = -V integral0^t ln( F0m V t' + e^-v0 / V ) dt' que encontramos:
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, dependendo do nível de análise requerido. Para simplificar, podemos utilizar a expressão do tempo encontrado na parte (b):
Isso resultará na distância percorrida até o ponto de repouso.

Resposta

A velocidade da massa em função do tempo é:
v(t) = -V ln( F0m V t + e^-v0 / V )
O tempo para a massa atingir o repouso é:
t = m VF0 ( 1 - e^-v0 / V )
E a distância percorrida antes de parar é determinada pela integral:
x = -V integral0^t ln( F0m V t' + e^-v0 / V ) dt'

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