Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e V são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa
que está se movendo no eixo
e está sujeita a uma força que depende da velocidade, dada por
, onde
e
são constantes. A gente precisa descobrir três coisas:
a) A velocidade
da massa em função do tempo, sabendo que no tempo
a velocidade inicial é
.
b) Quanto tempo leva para a massa parar instantaneamente.
c) A distância que a massa percorre antes de parar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e técnicas de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Encontrar
. Sabemos que a força é relacionada à massa e à aceleração pela segunda lei de Newton:
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo na equação da força:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para
.
Passo 3
Vamos separar as vari��veis
e
para integrar:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a
e do lado direito com respeito a
:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Calculando a integral:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Isolando
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -V:
Passo 6
Passando para a parte (b): Queremos encontrar o tempo
quando a velocidade
chega a zero. Ou seja, encontrar
tal que:
Então:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Passo 7
Por último, na parte ©, queremos saber a distância
que a massa percorre antes de parar. Sabemos que:
Usando a expressão para
que encontramos:
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, dependendo do nível de análise requerido. Para simplificar, podemos utilizar a expressão do tempo
encontrado na parte (b):
Isso resultará na distância percorrida até o ponto de repouso.
Resposta
A velocidade da massa em função do tempo é:
O tempo para a massa atingir o repouso é:
E a distância percorrida antes de parar é determinada pela integral:
Exercícios relacionados
Uma massa
tem velocidade
no instante
e move-se ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é
. Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo
e dos demais parâmetros. Para que valor de
(se existe algum) a massa
irá alcançar o repouso?
Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de
) sujeito a uma força de arrasto
. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de
. Explique a dependência temporal para
grande. (Que termo da força é dominante quando
é grande?).
Um valor típico para o coeficiente da resistência do ar quadrática sobre um ciclista é de cerca de
. Assumindo que a massa total (ciclista mais bicicleta) é
e que, no instante
, o ciclista tem uma velocidade inicial
e inicia o movimento até parar sob a influência da resistência do ar, determine o tempo característico
. Quanto tempo ele irá levar para reduzir a 15
? Quanto tempo para
e para
?
Quando um ciclista se locomove até parar, ele está na realidade sujeito a duas forças, a força da resistência do ar quadrática,
e a força de atrito
de cerca de 3 N . A primeira é dominante para altas e médias velocidades; a última é dominante para baixas velocidades. (A força de atrito é uma combinação do atrito ordinário devido aos rolamentos e a rolagem dos pneus sobre a estrada). (a) Escreva a equação do movimento enquanto o ciclista está locomovendo-se até parar. Resolva essa equação por separação de variáveis para obter
como uma função de v. (b) Usando os dados do exercício 7 ( e o valor
dado acima), determine quanto tempo o ciclista leva para diminuir de
para
. Quanto tempo leva para diminuir para 10 e
? Quanto tempo até a parada total? Compare com as respostas que você obteve no exercício 7 , quando ignorou completamente o atrito.