Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa está submetida a mover-se ao longo do eixo sujeita a uma força , onde e V são constantes. (a) Determine se a velocidade inicial for no instante . (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma massa que está se movendo no eixo e está sujeita a uma força que depende da velocidade, dada por , onde e são constantes. A gente precisa descobrir três coisas:
a) A velocidade da massa em função do tempo, sabendo que no tempo a velocidade inicial é .
b) Quanto tempo leva para a massa parar instantaneamente.
c) A distância que a massa percorre antes de parar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e técnicas de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar . Sabemos que a força é relacionada à massa e à aceleração pela segunda lei de Newton:
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo na equação da força:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para .

Passo 3

Vamos separar as vari��veis e para integrar:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a e do lado direito com respeito a :
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Calculando a integral:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, vamos determinar a constante usando a condição inicial :
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Isolando :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por -V:

Passo 6

Passando para a parte (b): Queremos encontrar o tempo quando a velocidade chega a zero. Ou seja, encontrar tal que:
Então:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Passo 7

Por último, na parte ©, queremos saber a distância que a massa percorre antes de parar. Sabemos que:
Usando a expressão para que encontramos:
Essa integral pode ser resolvida por substituição ou métodos numéricos, dependendo do nível de análise requerido. Para simplificar, podemos utilizar a expressão do tempo encontrado na parte (b):
Isso resultará na distância percorrida até o ponto de repouso.

Resposta

A velocidade da massa em função do tempo é:
O tempo para a massa atingir o repouso é:
E a distância percorrida antes de parar é determinada pela integral:

Exercícios relacionados

Uma massa tem velocidade no instante e move-se ao longo do eixo em um meio onde a força de arrasto é . Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo e dos demais parâmetros. Para que valor de (se existe algum) a massa irá alcançar o repouso?
Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de ) sujeito a uma força de arrasto . Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de . Explique a dependência temporal para grande. (Que termo da força é dominante quando é grande?).
Um valor típico para o coeficiente da resistência do ar quadrática sobre um ciclista é de cerca de . Assumindo que a massa total (ciclista mais bicicleta) é e que, no instante , o ciclista tem uma velocidade inicial e inicia o movimento até parar sob a influência da resistência do ar, determine o tempo característico . Quanto tempo ele irá levar para reduzir a 15 ? Quanto tempo para e para ?
Quando um ciclista se locomove até parar, ele está na realidade sujeito a duas forças, a força da resistência do ar quadrática, e a força de atrito de cerca de 3 N . A primeira é dominante para altas e médias velocidades; a última é dominante para baixas velocidades. (A força de atrito é uma combinação do atrito ordinário devido aos rolamentos e a rolagem dos pneus sobre a estrada). (a) Escreva a equação do movimento enquanto o ciclista está locomovendo-se até parar. Resolva essa equação por separação de variáveis para obter como uma função de v. (b) Usando os dados do exercício 7 ( e o valor dado acima), determine quanto tempo o ciclista leva para diminuir de para . Quanto tempo leva para diminuir para 10 e ? Quanto tempo até a parada total? Compare com as respostas que você obteve no exercício 7 , quando ignorou completamente o atrito.