Um valor típico para o coeficiente da resistência do ar quadrática sobre um ciclista é de cerca de c=0,20 N /(m / s)^2. Assumindo que a massa total (ciclista mais bicicleta) é m=80 kg e que, no instante t=0, o ciclista tem uma velocidade inicial vo=20 m / s(72 km / h) e inicia o movimento até parar sob a influência da resistência do ar, determine o tempo característico tau=m / cv0. Quanto tempo ele irá levar para reduzir a 15 m / s ? Quanto tempo para 10 m / s e para 5 m / s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a resistência do ar que age de forma quadrática sobre um ciclista. Temos que calcular o tempo característico tau e os tempos necessários para a velocidade do ciclista diminuir para 15 m/s, 10 m/s e 5 m/s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a equação de movimento com resistência do ar quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo característico tau. A fórmula para tau é:
tau = mc v0
Onde:
  • m = 80 , kg é a massa total (ciclista + bicicleta),
  • c = 0,20 , N/(m/s)^2 é o coeficiente da resistência do ar quadrática,
  • v0 = 20 , m/s é a velocidade inicial.
Substituindo os valores:
tau = 800,20 times 20 = 804 = 20 , segundos
Então, o tempo característico tau é de 20 segundos.

Passo 3

Agora, vamos entender como a velocidade do ciclista varia com o tempo sob a influência da resistência do ar. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
m dvdt = -c v^2
Essa equação significa que a força resultante (massa vezes aceleração) é igual à resistência do ar, que depende do quadrado da velocidade.
Resolvendo essa equação, encontramos a função da velocidade em função do tempo:
v(t) = v01 + ttau
Isso nos diz que a velocidade diminui de forma não linear com o tempo.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o tempo necessário para que a velocidade diminua para 15 m/s. Usando a equação da velocidade:
15 = 201 + t20
Vamos resolver para t:
1 + t20 = 2015 implies t20 = 2015 - 1 = 515 = 13
t = 20 times 13 approx 6,67 , segundos

Passo 5

Seguimos o mesmo processo para encontrar o tempo para a velocidade chegar a 10 m/s:
10 = 201 + t20
Resolvendo para t:
1 + t20 = 2010 = 2 implies t20 = 2 - 1 = 1
t = 20 times 1 = 20 , segundos

Passo 6

Finalmente, para a velocidade de 5 m/s:
5 = 201 + t20
Resolvendo:
1 + t20 = 205 = 4 implies t20 = 4 - 1 = 3
t = 20 times 3 = 60 , segundos

Resposta

O tempo característico é tau = 20 segundos. O ciclista irá levar aproximadamente:
  • 6,67 segundos para reduzir a 15 m/s,
  • 20 segundos para reduzir a 10 m/s, e
  • 60 segundos para reduzir a 5 m/s.

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