Um valor típico para o coeficiente da resistência do ar quadrática sobre um ciclista é de cerca de
. Assumindo que a massa total (ciclista mais bicicleta) é
e que, no instante
, o ciclista tem uma velocidade inicial
e inicia o movimento até parar sob a influência da resistência do ar, determine o tempo característico
. Quanto tempo ele irá levar para reduzir a 15
? Quanto tempo para
e para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a resistência do ar que age de forma quadrática sobre um ciclista. Temos que calcular o tempo característico
e os tempos necessários para a velocidade do ciclista diminuir para 15 m/s, 10 m/s e 5 m/s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente a equação de movimento com resistência do ar quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo característico
. A fórmula para
é:
Onde:
-
é a massa total (ciclista + bicicleta), -
é o coeficiente da resistência do ar quadrática, -
é a velocidade inicial.
Substituindo os valores:
Então, o tempo característico
é de 20 segundos.
Passo 3
Agora, vamos entender como a velocidade do ciclista varia com o tempo sob a influência da resistência do ar. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
Essa equação significa que a força resultante (massa vezes aceleração) é igual à resistência do ar, que depende do quadrado da velocidade.
Resolvendo essa equação, encontramos a função da velocidade em função do tempo:
Isso nos diz que a velocidade diminui de forma não linear com o tempo.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o tempo necessário para que a velocidade diminua para 15 m/s. Usando a equação da velocidade:
Vamos resolver para
:
Passo 5
Seguimos o mesmo processo para encontrar o tempo para a velocidade chegar a 10 m/s:
Resolvendo para
:
Passo 6
Finalmente, para a velocidade de 5 m/s:
Resolvendo:
Resposta
O tempo característico é
segundos. O ciclista irá levar aproximadamente:
- 6,67 segundos para reduzir a 15 m/s,
- 20 segundos para reduzir a 10 m/s, e
- 60 segundos para reduzir a 5 m/s.