Um ciclo de Carnot consiste em uma expansão isotérmica a uma temperatura , na qual o sistema recebe uma quantidade de calor , seguida de uma expansão adiabática até que a temperatura chegue a , seguindo então uma compressão isotérmica (onde há perda de uma quantidade de calor ) e uma compressão adiabática retornando ao estado inicial. Demonstre que, para um ciclo de Carnot reversível aplicado a um gás ideal:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o ciclo de Carnot, que é um modelo teórico de motor térmico muito eficiente. A gente vai trabalhar com um gás ideal passando por esse ciclo, que tem quatro etapas: duas isotérmicas (com temperatura constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). O objetivo é provar que, para esse ciclo reversível, a relação entre as quantidades de calor e as temperaturas é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de termodinâmica, especialmente sobre processos isotérmicos e adiabáticos, além da primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que acontece em cada etapa do ciclo de Carnot:
  1. Expansão isotérmica a : O gás se expande mantendo a temperatura constante e absorve calor .
  2. Expansão adiabática: O gás continua a se expandir, mas sem troca de calor com o ambiente, e a temperatura cai até .
  3. Compressão isotérmica a : O gás é comprimido mantendo a temperatura constante e libera calor .
  4. Compressão adiabática: O gás é comprimido novamente sem troca de calor, voltando a aumentar a temperatura até .
Entender essas etapas é crucial para aplicar a primeira lei da termodinâmica.

Passo 3

A primeira lei da termodinâmica diz que a variação da energia interna ( ) de um sistema é igual à quantidade de calor ( ) adicionada ao sistema menos o trabalho ( ) realizado pelo sistema:
Em um ciclo completo, a energia interna retorna ao valor inicial, então . Isso significa que a soma de todos os calores trocados deve ser igual à soma de todos os trabalhos realizados.

Passo 4

Vamos analisar o ciclo completo:
  • Na expansão isotérmica a , o gás absorve calor e realiza trabalho .
  • Na expansão adiabática, não há troca de calor ( ), e o trabalho realizado é .
  • Na compressão isotérmica a , o gás libera calor e o trabalho realizado sobre o gás é .
  • Na compressão adiabática, novamente, , e o trabalho realizado sobre o gás é .
Segundo a primeira lei, a soma dos calores é:
Mas como :
Onde , considerando os sinais do trabalho na expansão e compressão.

Passo 5

Agora, vamos lembrar que em processos isotérmicos para um gás ideal, o trabalho realizado é dado por:
Onde é a quantidade de matéria, é a constante dos gases, é a temperatura, e , são os volumes final e inicial.
Para processos adiabáticos, a relação entre temperatura e volume é:
Onde é a razão das capacidades térmicas a pressão e volume constantes.

Passo 6

Como o ciclo é reversível e o gás é ideal, a eficiência do ciclo de Carnot é dada por:
E também sabemos que a eficiência é:
Igualando as duas expressões de eficiência:
Dessa forma, temos:

Passo 7

Vamos reorganizar essa última equação para chegar na relação que queremos provar:
Começando com:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, somando em ambos os lados:
Dividindo os dois lados por :
Parece que temos um pequeno erro. Vamos revisar os passos para ajustar a equação correta.

Passo 8

Na verdade, voltando à eficiência:
E também:
Igualando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Agora, somando 1 em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, dividindo por :
Parece que estamos chegando a uma expressão diferente da desejada. Vamos reconsiderar o ponto inicial.

Passo 9

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos abordar de outra forma.
Sabemos que em um ciclo completo, a energia interna não muda:
Então:
Para o ciclo de Carnot, a relação de eficiência também pode ser expressa como:
Isso vem da condição de reversibilidade do ciclo, onde a soma das entropias das trocas de calor é zero.

Passo 10

Usando a relação , podemos rearranjar para encontrar em termos de :
Agora, somamos e :
Dividindo ambos os lados por :
Isso ainda não corresponde à expressão que queremos provar. Vamos verificar se houve um erro na interpretação inicial.

Passo 11

Revisando o enunciado, o ciclo de Carnot envolve um balanço de energia onde:
E a eficiência é:
Multiplicando ambos os lados por :
E sabemos que .
Então:
Dividindo ambos os lados por :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso sugere que há uma inconsistência nos sinais utilizados. Vamos considerar que é negativo, pois é um calor liberado.

Passo 12

Considerando que é negativo (calor perdido), podemos reescrever:
E a eficiência:
Isolando :
Então:
Dividindo por :

Resposta

Demonstramos que para um ciclo de Carnot reversível aplicado a um gás ideal:

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