Mostre, acoplando duas máquinas térmicas reversíveis I e II, atuando entre as mesmas temperaturas da fonte quente
e da fonte fria
, que o rendimento de ambas deve ser idêntico. Considere ambas as hipóteses:
e
e comente as conclusões. O que acontece se acoplássemos à máquina I ou II uma máquina térmica irreversível III?
Passo 1
Então, a gente tem duas máquinas térmicas reversíveis, a I e a II, que estão funcionando entre a mesma temperatura da fonte quente (
) e da fonte fria (
). A gente precisa mostrar que o rendimento dessas duas máquinas deve ser igual. Vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre máquinas térmicas reversíveis e rendimento, que é a eficiência com que elas convertem calor em trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma máquina térmica reversível. Ela é ideal porque opera de forma eficiente, sem perdas de energia, e pode ser invertida para funcionar como uma máquina de refrigeração. O rendimento (
) de uma máquina térmica reversível que opera entre duas temperaturas é dado pela fórmula:
Isso significa que o rendimento depende apenas das temperaturas das fontes quente e fria.
Passo 3
Agora, vamos supor que a máquina I tenha um trabalho
e a máquina II tenha um trabalho
. Como ambas estão operando entre as mesmas
e
, usando a fórmula do rendimento:
Portanto, o rendimento da máquina I é igual ao da máquina II.
Passo 4
Agora, vamos considerar as hipóteses:
-
:
Se a máquina I está produzindo mais trabalho que a máquina II, mas ambas têm o mesmo rendimento, isso indica que a máquina I está absorvendo mais calor da fonte quente (). Como o rendimento é a mesma, isso mantém a relação . -
:
Se a máquina II está produzindo mais trabalho que a máquina I, similarmente, a máquina II está absorvendo mais calor da fonte quente (). Novamente, o rendimento é o mesmo para ambas.
Passo 5
Com isso, concluímos que, mesmo que uma máquina produza mais ou menos trabalho que a outra, o rendimento delas deve ser igual se operarem entre as mesmas temperaturas de fontes quente e fria.
Passo 6
Agora, o que acontece se a gente acoplar uma máquina térmica irreversível, a III, à máquina I ou II? Uma máquina irreversível tem um rendimento menor que o de uma máquina reversível operando nas mesmas condições. Se acoplarmos a máquina III, o sistema todo passará a operar com um rendimento reduzido, já que a máquina irreversível introduz perdas de energia que não existiam antes. Assim, o rendimento combinado das máquinas I e III ou II e III será menor que o rendimento das máquinas apenas reversíveis.
Resposta
Quando duas máquinas térmicas reversíveis operam entre as mesmas temperaturas das fontes quente e fria, elas devem ter rendimentos iguais. Se uma produz mais trabalho que a outra, apenas a quantidade de calor absorvido difere, mas o rendimento permanece o mesmo. Ao acoplar uma máquina térmica irreversível a qualquer uma delas, o rendimento do sistema diminui devido às perdas introduzidas pela irreversibilidade.