Um mol de um gás ideal diatômico efetua um ciclo de Carnot. As temperaturas e pressões, altas e baixas, são respectivamente 400 K e 300 K , 4 atm e 1 atm . (a) Quais são os valores do volume quando T=400 K e P=4 atm e quando T=300 K e p=1 atm? (b) Quais os valores de P V e P V^gamma sobre as curvas isotérmica e adiabática que passam por esses pontos? ( c ) Faça um desenho exato do ciclo de Carnot.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um mol de um gás ideal diatômico que faz um ciclo de Carnot. As temperaturas altas e baixas são 400 K e 300 K, e as pressões correspondentes são 4 atm e 1 atm. Vamos precisar da lei dos gases ideais, que é $ PV = nRT $, e do conceito de ciclo de Carnot. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os volumes nos dois estados fornecidos. Usando a lei dos gases ideais $ PV = nRT $, onde $ n = 1 $ mol, $ R = 0,0821 $ atm·L/mol·K.
Para $ T = 400 $ K e $ P = 4 $ atm:
PV = nRT
Para $ T = 300 $ K e $ P = 1 $ atm:
n = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular $ PV $ e $ PV^{\gamma} $ nas curvas isotérmica e adiabática. Para um gás diatômico, $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5} = 1,4 $.
Na curva isotérmica (temperatura constante), $ PV = constante $. Então, para os dois pontos:
PV
PV^gamma
Na curva adiabática, $ PV^{\gamma} = constante $. Calculando:
Para o primeiro ponto:
gamma = CpCv = 75 = 1,4
Para o segundo ponto:
PV = constante

Passo 4

Sobre o desenho do ciclo de Carnot, ele consiste em duas isotermais (uma expansão a 400 K e uma compressão a 300 K) e duas adiabáticas que conectam essas isotermais. Um gráfico $ P $ vs. $ V $ mostraria um retângulo curvo onde as curvas isotérmicas e adiabáticas formam o ciclo.

Resposta

(a) O volume a $ T = 400 $ K e $ P = 4 $ atm é aproximadamente 8,21 L, e a $ T = 300 $ K e $ P = 1 $ atm é aproximadamente 24,63 L.
(b) Em ambas as curvas isotérmica e adiabática, $ PV $ nos dois pontos é 32,84 atm·L e 24,63 atm·L respectivamente. Para $ PV^{\gamma} $, o valor é aproximadamente 78,36 atm·L¹․⁴ em ambos os pontos.
© O ciclo de Carnot é representado por duas curvas isotérmicas e duas curvas adiabáticas em um gráfico de pressão versus volume, formando um ciclo fechado.

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