Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de um sólido que está entre os planos e e é formado por um hiperbolóide de uma folha. Esse hiperbolóide é obtido ao girar a hipérbole em torno do eixo . Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da hipérbole: . Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo imaginário no eixo .

Passo 3

Como vamos girar essa hipérbole em torno do eixo , o sólido formado é um hiperbolóide de uma folha. Para encontrar o volume entre e , usamos o método dos discos, que integra as áreas dos discos ao longo do eixo .

Passo 4

Resolvendo a equação da hipérbole para :
Então, .

Passo 5

A área de um disco na posição é . Substituindo :

Passo 6

Agora, integramos de a para encontrar o volume:

Passo 7

Como a função é par, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 3:

Passo 8

Calculando as integrais:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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