Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos
e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o volume de um sólido que está entre os planos
e
e é formado por um hiperbolóide de uma folha. Esse hiperbolóide é obtido ao girar a hipérbole
em torno do eixo
. Vamos precisar usar cálculo integral, especificamente o método dos discos, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da hipérbole:
. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 36:
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo imaginário no eixo
.
Passo 3
Como vamos girar essa hipérbole em torno do eixo
, o sólido formado é um hiperbolóide de uma folha. Para encontrar o volume entre
e
, usamos o método dos discos, que integra as áreas dos discos ao longo do eixo
.
Passo 4
Resolvendo a equação da hipérbole para
:
Então,
.
Passo 5
A área de um disco na posição
é
. Substituindo
:
Passo 6
Agora, integramos
de
a
para encontrar o volume:
Passo 7
Como a função é par, podemos simplificar multiplicando por 2 e integrando de 0 a 3:
Passo 8
Calculando as integrais:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
.
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
. Com
e
sendo constantes arbitrárias.
Resolva as equações diferenciais:
Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto
de um círculo de raio
, centrado em
, quando este círculo gira sobre o eixo
. Podese representar esta ciclóide através das equações
e
, com
. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.