Determinar o ângulo entre os vetores e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para determinar o ângulo entre dois vetores: e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma dos vetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores e . O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores e é dado pela fórmula:
Aplicando os valores dos vetores:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor é calculada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores encontrados, podemos usar a fórmula para determinar o cosseno do ângulo entre eles:
Substituindo os valores:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno (função inversa do cosseno) de 0,6:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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(b) A imagem de é um subespaço de .
Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no exterior daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.

Observações:

  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei