Determinar o ângulo entre os vetores u=(2,1) e v=(4,-2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para determinar o ângulo entre dois vetores: u = (2, 1) e v = (4, -2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma dos vetores, que fazem parte da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar é uma forma de multiplicar dois vetores e é dado pela fórmula:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
Aplicando os valores dos vetores:
u cdot v = 2 cdot 4 + 1 cdot (-2) = 8 - 2 = 6

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor a = (ax, ay) é calculada por:
||a|| = raizax^2 + ay^2
Calculando para u:
||u|| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
E para v:
||v|| = raiz4^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores encontrados, podemos usar a fórmula para determinar o cosseno do ângulo theta entre eles:
cos theta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Substituindo os valores:
cos theta = 6raiz5 cdot 2raiz5 = 62 cdot 5 = 610 = 0,6

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno (função inversa do cosseno) de 0,6:
theta = cos^-1(0,6) approx 53,13^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 53,13^circ.

Exercícios relacionados