Determine uma equação geral cartesiana do plano a. Considere o vetor normal a a e o ponto A pertencente a a onde n= (2,1,6) e A(9, 7,- 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar a equação geral de um plano. Para isso, vamos usar o vetor normal ao plano e um ponto que está nesse plano. No nosso caso, o vetor normal é $ \mathbf{n} = (2, 1, 6) $ e o ponto dado é $ A(9, 7, -2) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação geral de um plano. Se a gente tem um vetor normal $ \mathbf{n} = (a, b, c) $ e um ponto $ A(x_0, y_0, z_0) $ que pertence ao plano, a equação do plano é:
n = (a, b, c)
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são as componentes do vetor normal, e $ x_0 $, $ y_0 $, $ z_0 $ são as coordenadas do ponto no plano.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos nessa fórmula. Nosso vetor normal é $ \mathbf{n} = (2, 1, 6) $, então $ a = 2 $, $ b = 1 $ e $ c = 6 $. O ponto $ A $ tem coordenadas $ (9, 7, -2) $, então $ x_0 = 9 $, $ y_0 = 7 $ e $ z_0 = -2 $.
Substituindo na equação:
n = (2, 1, 6)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, resolvemos os parênteses:
2(x - 9) = 2x - 18
1(y - 7) = y - 7
6(z - (-2)) = 6(z + 2) = 6z + 12
Substituindo de volta na equação:
2x - 18 + y - 7 + 6z + 12 = 0

Passo 5

Vamos juntar os termos semelhantes:
2x + y + 6z - 18 - 7 + 12 = 0
2x + y + 6z - 13 = 0

Passo 6

Para deixar a equação na forma geral, podemos escrever os termos sem os parênteses:
2x + y + 6z = 13

Resposta

A equação geral cartesiana do plano é $ 2x + y + 6z = 13 $.

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