Determine uma equação geral cartesiana do plano a. Considere o vetor normal a a e o ponto A pertencente a a onde n= (2,1,6) e A(9, 7,- 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar a equação geral de um plano. Para isso, vamos usar o vetor normal ao plano e um ponto que está nesse plano. No nosso caso, o vetor normal é $ \mathbf{n} = (2, 1, 6) $ e o ponto dado é $ A(9, 7, -2) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como escrever a equação geral de um plano. Se a gente tem um vetor normal $ \mathbf{n} = (a, b, c) $ e um ponto $ A(x_0, y_0, z_0) $ que pertence ao plano, a equação do plano é:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são as componentes do vetor normal, e $ x_0 $, $ y_0 $, $ z_0 $ são as coordenadas do ponto no plano.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos nessa fórmula. Nosso vetor normal é $ \mathbf{n} = (2, 1, 6) $, então $ a = 2 $, $ b = 1 $ e $ c = 6 $. O ponto $ A $ tem coordenadas $ (9, 7, -2) $, então $ x_0 = 9 $, $ y_0 = 7 $ e $ z_0 = -2 $.
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, resolvemos os parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 6
Para deixar a equação na forma geral, podemos escrever os termos sem os parênteses:
Resposta
A equação geral cartesiana do plano é $ 2x + y + 6z = 13 $.