O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que a onda piloto de De Broglie (ou melhor a integral de Fourier da onda plana) é solução da equação de Schroedinger.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a “onda piloto” de De Broglie, que no caso é a integral de Fourier da onda plana, é uma solução da equação de Schrödinger. Isso faz parte da física quântica, onde a gente estuda como partículas se comportam em nível subatômico. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a equação de Schrödinger, o que são ondas planas e como a integral de Fourier funciona para construir funções de onda mais complexas a partir das ondas planas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula livre (ou seja, sem potenciais externos). Ela é dada por:
ihbar partial psi(x, t)partial t = -hbar^22m partial^2 psi(x, t)partial x^2
Aqui, psi(x, t) é a função de onda da partícula, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, i é a unidade imaginária, e x, t representam posição e tempo, respectivamente.

Passo 3

Agora, uma onda plana é uma solução simples da equação de Schrödinger e tem a forma:
psik(x, t) = e^i(kx - omega t)
Onde k é o número de onda e omega é a frequência angular relacionada pela relação de dispersão para uma partícula livre:
omega = hbar k^22m

Passo 4

A integral de Fourier permite que a gente construa uma função de onda mais geral a partir de uma soma (ou integral) de ondas planas com diferentes valores de k. Então, a onda piloto de De Broglie é dada por:
Psi(x, t) = integral-infty^infty A(k) e^i(kx - omega t) dk
Onde A(k) é a amplitude de cada onda plana na integral.

Passo 5

Nosso objetivo é mostrar que Psi(x, t) satisfaz a equação de Schrödinger. Para isso, vamos calcular as derivadas temporais e espaciais de Psi(x, t) e substituir na equação de Schrödinger.
Primeiro, a derivada temporal:
partial Psipartial t = integral-infty^infty A(k) ( -iomega ) e^i(kx - omega t) dk = -i integral-infty^infty omega A(k) e^i(kx - omega t) dk

Passo 6

Agora, a segunda derivada espacial:
partial^2 Psipartial x^2 = integral-infty^infty A(k) ( ik )^2 e^i(kx - omega t) dk = - integral-infty^infty k^2 A(k) e^i(kx - omega t) dk

Passo 7

Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger:
ihbar ( -i integral-infty^infty omega A(k) e^i(kx - omega t) dk ) = -hbar^22m ( - integral-infty^infty k^2 A(k) e^i(kx - omega t) dk )
Simplificando:
hbar integral-infty^infty omega A(k) e^i(kx - omega t) dk = hbar^22m integral-infty^infty k^2 A(k) e^i(kx - omega t) dk

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para toda função de onda, os coeficientes das integrais devem ser iguais. Ou seja:
hbar omega = hbar^2 k^22m
Isso nos leva de volta à relação de dispersão que já conhecemos:
omega = hbar k^22m

Passo 9

Como a relação de dispersão é satisfeita, isso significa que a função de onda Psi(x, t) construída pela integral de Fourier das ondas planas realmente satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula livre.

Resposta

Portanto, mostramos que a onda piloto de De Broglie, representada pela integral de Fourier da onda plana, é de fato uma solução da equação de Schrödinger.

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