O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que a onda piloto de De Broglie (ou melhor a integral de Fourier da onda plana) é solução da equação de Schroedinger.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a “onda piloto” de De Broglie, que no caso é a integral de Fourier da onda plana, é uma solução da equação de Schrödinger. Isso faz parte da física quântica, onde a gente estuda como partículas se comportam em nível subatômico. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a equação de Schrödinger, o que são ondas planas e como a integral de Fourier funciona para construir funções de onda mais complexas a partir das ondas planas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger para uma partícula livre (ou seja, sem potenciais externos). Ela é dada por:
Aqui,
é a função de onda da partícula,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a unidade imaginária, e
,
representam posição e tempo, respectivamente.
Passo 3
Agora, uma onda plana é uma solução simples da equação de Schrödinger e tem a forma:
Onde
é o número de onda e
é a frequência angular relacionada pela relação de dispersão para uma partícula livre:
Passo 4
A integral de Fourier permite que a gente construa uma função de onda mais geral a partir de uma soma (ou integral) de ondas planas com diferentes valores de
. Então, a onda piloto de De Broglie é dada por:
Onde
é a amplitude de cada onda plana na integral.
Passo 5
Nosso objetivo é mostrar que
satisfaz a equação de Schrödinger. Para isso, vamos calcular as derivadas temporais e espaciais de
e substituir na equação de Schrödinger.
Primeiro, a derivada temporal:
Passo 6
Agora, a segunda derivada espacial:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para toda função de onda, os coeficientes das integrais devem ser iguais. Ou seja:
Isso nos leva de volta à relação de dispersão que já conhecemos:
Passo 9
Como a relação de dispersão é satisfeita, isso significa que a função de onda
construída pela integral de Fourier das ondas planas realmente satisfaz a equação de Schrödinger para uma partícula livre.
Resposta
Portanto, mostramos que a onda piloto de De Broglie, representada pela integral de Fourier da onda plana, é de fato uma solução da equação de Schrödinger.
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Mostre que se
onde
então o número de onda na região 2 é dado por
.
Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo:
onde
as autofunções da energia
são ortonormais. Mostre que a energia é conservada na média, ou seja
Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Obtenhas as funções de onda a esquerda e a direita da barreira de potencial, para os parâmetros dados.
O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que uma solução geral (em notação complexa) para a função de onda, ou seja
, da origem a equações acopladas para as partes real e imaginária, inviabilizando a interpretação da função de onda como uma variável dinâmica de uma partícula quântica.