O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que uma solução geral (em notação complexa) para a função de onda, ou seja psi(r, t)=f(r, t)+i g(r, t), da origem a equações acopladas para as partes real e imaginária, inviabilizando a interpretação da função de onda como uma variável dinâmica de uma partícula quântica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a função de onda na física quântica, que o Louis De Broglie ajudou a desenvolver. A gente vai trabalhar com uma função de onda complexa, ou seja, que tem parte real e imaginária. O objetivo aqui é mostrar que, se a gente escreve a função de onda dessa forma, surgem duas equações que estão “presas” juntas, o que dificulta entender a função de onda como algo que descreve o movimento de uma partícula quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre (sem potenciais externos):
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m nabla^2 psi
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o operador laplaciano que representa a segunda derivada espacial.

Passo 3

Agora, vamos escrever a função de onda psi(r, t) = f(r, t) + i, g(r, t) como parte real mais vezes a parte imaginária :
Essa separação nos permite trabalhar com duas funções reais separadamente.

Passo 4

Vamos substituir essa expressão na Equação de Schrödinger. Primeiro, calculamos a derivada temporal:
partial psipartial t = partial fpartial t + i, partial gpartial t
E o operador laplaciano atuando em nabla^2 psi = nabla^2 f + i, nabla^2 g :

Passo 5

Substituindo esses resultados na Equação de Schrödinger, temos:
ihbar ( partial fpartial t + i, partial gpartial t ) = -hbar^22m ( nabla^2 f + i, nabla^2 g )
Agora, vamos simplificar ambos os lados.

Passo 6

Multiplicando ihbar partial fpartial t - hbar partial gpartial t = -hbar^22m nabla^2 f - i, hbar^22m nabla^2 g na esquerda e reorganizando os termos:

Passo 7

Agora, igualamos as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
- hbar partial gpartial t = -hbar^22m nabla^2 f
Parte imaginária:
hbar partial fpartial t = -hbar^22m nabla^2 g

Passo 8

Essas duas equações formam um sistema de equações acopladas:
partial gpartial t = hbar2m nabla^2 f partial fpartial t = -hbar2m nabla^2 g
Isso mostra que a evolução de e estão interligadas, ou seja, a mudança de uma depende da segunda derivada espacial da outra.

Passo 9

Esse acoplamento torna difícil interpretar como uma função que descreve apenas as posições e momentos de uma partícula, já que e não evoluem de forma independente. Em outras palavras, a função de onda não se comporta como uma variável dinâmica simples, complicando a compreensão de como a partícula se move.

Resposta

Assim, mostramos que ao escrever a função de onda como , surgem duas equações acopladas para e . Esse acoplamento inviabiliza a interpretação da função de onda como uma variável dinâmica independente para uma partícula quântica.

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