Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo:
onde
as autofunções da energia
são ortonormais. Mostre que a energia é conservada na média, ou seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a energia média do sistema não muda com o tempo, ou seja, que ela é conservada. Estamos trabalhando com mecânica quântica, mais especificamente com funções de onda e estados de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia média usando a função de onda dada e depois mostrar que sua derivada em relação ao tempo é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a energia média
de um sistema quântico. A energia média é dada pela integral da função de onda complexa multiplicada pelo operador Hamiltoniano e pela função de onda original:
Aqui,
é a função de onda conjugada,
é o operador Hamiltoniano (que representa a energia total do sistema), e
é a função de onda do sistema.
Passo 3
Sabemos que a função de onda
está escrita como uma soma de autofunções de energia
, cada uma multiplicada por um coeficiente
que depende do tempo:
E os coeficientes
são dados por:
Onde
são os autovalores de energia correspondentes às autofunções
, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
na fórmula da energia média:
Como as autofunções de energia são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo, temos:
Substituindo isso na expressão da energia média:
Passo 5
Sabemos que as autofunções de energia são ortonormais, ou seja:
Onde
é o delta de Kronecker, que é 1 se
e 0 caso contrário. Isso simplifica a express��o da energia média:
Note que
é o módulo ao quadrado dos coeficientes
, que são constantes no tempo (já que a parte temporal foi cancelada). Portanto, a energia média
é uma soma de termos fixos, o que significa que sua derivada em relação ao tempo é zero.
Resposta
Assim, concluímos que a derivada da energia média em relação ao tempo é zero, ou seja:
Isso mostra que a energia é conservada na média no sistema considerado.
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