Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo: psi(r, t)=sumn cn(t) phin(r) onde cn(t)=cn e^-i Em / hbar e as autofunções da energia phin(r) são ortonormais. Mostre que a energia é conservada na média, ou seja dlang<= Erang<=d t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que a energia média do sistema não muda com o tempo, ou seja, que ela é conservada. Estamos trabalhando com mecânica quântica, mais especificamente com funções de onda e estados de energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia média usando a função de onda dada e depois mostrar que sua derivada em relação ao tempo é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a energia média lang<= E rang<= de um sistema quântico. A energia média é dada pela integral da função de onda complexa multiplicada pelo operador Hamiltoniano e pela função de onda original:
lang<= E rang<= = integral psi^*(r, t) H psi(r, t) , dr
Aqui, psi^*(r, t) é a função de onda conjugada, H é o operador Hamiltoniano (que representa a energia total do sistema), e psi(r, t) é a função de onda do sistema.

Passo 3

Sabemos que a função de onda psi(r, t) está escrita como uma soma de autofunções de energia phin(r), cada uma multiplicada por um coeficiente cn(t) que depende do tempo:
psi(r, t) = sumn cn(t) phin(r)
E os coeficientes cn(t) são dados por:
cn(t) = cn e^-i En t / hbar
Onde En são os autovalores de energia correspondentes às autofunções phin(r), e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos substituir a expressão de psi(r, t) na fórmula da energia média:
lang<= E rang<= = integral ( summ cm^* e^i Em t / hbar phim^*(r) ) H ( sumn cn e^-i En t / hbar phin(r) ) dr
Como as autofunções de energia são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo, temos:
H phin(r) = En phin(r)
Substituindo isso na expressão da energia média:
lang<= E rang<= = summ,n cm^* cn e^i (Em - En) t / hbar En integral phim^*(r) phin(r) , dr

Passo 5

Sabemos que as autofunções de energia são ortonormais, ou seja:
integral phim^*(r) phin(r) , dr = de
Onde de é o delta de Kronecker, que é 1 se m = n e 0 caso contrário. Isso simplifica a express��o da energia média:
lang<= E rang<= = sumn |cn|^2 En
Note que |cn|^2 é o módulo ao quadrado dos coeficientes cn, que são constantes no tempo (já que a parte temporal foi cancelada). Portanto, a energia média lang<= E rang<= é uma soma de termos fixos, o que significa que sua derivada em relação ao tempo é zero.

Resposta

Assim, concluímos que a derivada da energia média em relação ao tempo é zero, ou seja:
dlang<= E rang<=dt = 0
Isso mostra que a energia é conservada na média no sistema considerado.

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