Uma partícula de massa m se desloca no sentido positivo de x. A energia potencial da partícula é nula para x<0 e igual a Uo para x>=0, onde é Uo constante e positiva. Mostre que se E=a U o onde a >= 1 então o número de onda na região 2 é dado por k2=k1 raiz(a-1) / a.

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa k2 = k1 raiza - 1a que se move na direção positiva do eixo . A energia potencial dessa partícula é zero quando e igual a (uma constante positiva) quando . Queremos demonstrar que, se a energia total da partícula é igual a com , então o número de onda na região 2 ( ) é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia total se relaciona com a energia potencial e a energia cinética da partícula, além de como esses conceitos se aplicam em regiões com diferentes potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total E = K + U de uma partícula é a soma da energia cinética E = K1 e da energia potencial K1 = p1^22m :
Na região 1 ( ), a energia potencial , então toda a energia é cinética:
Logo, a energia cinética na região 1 é:
onde é o momento na região 1.

Passo 3

Na região 2 ( K2 = E - U0 = a U0 - U0 = (a - 1)U0 ), a energia potencial p2 = raiz2m K2 = raiz2m (a - 1)U0 , então a energia cinética é:
E dessa forma, o momento na região 2 é:

Passo 4

O número de onda k = phbar está relacionado ao momento k1 = p1hbar e k2 = p2hbar pela relação:
onde é a constante de Planck reduzida. Então, podemos escrever:

Passo 5

Substituindo k1 = raiz2m Ehbar e k2 = raiz2m (a - 1)U0hbar e k1 = raiz2m a U0hbar nas expressões de e :
Sabendo que , substituímos na expressão de :

Passo 6

Agora, queremos expressar k2 = raiz2m (a - 1)U0hbar = raiza - 1a cdot raiz2m a U0hbar = raiza - 1a cdot k1 em termos de :

Resposta

Portanto, mostramos que o número de onda na região 2 é dado por:
k2 = k1 raiza - 1a

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