Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Obtenhas as funções de onda a esquerda e a direita da barreira de potencial, para os parâmetros dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula se movendo ao longo do eixo
e como ela interage com uma barreira de potencial. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo, para encontrar as funções de onda à esquerda e à direita da barreira. Precisaremos entender como a energia potencial influencia o comportamento da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região à esquerda da barreira (
). Nessa área, a energia potencial
é zero. A equação de Schrödinger para uma partícula livre (sem potencial) é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia total, e
é a função de onda que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a região à direita da barreira (
). Aqui, a energia potencial
é igual a
, uma constante positiva. A equação de Schrödinger fica:
Essa diferença na energia potencial vai afetar a forma da função de onda nessa região.
Passo 4
Vamos resolver as equações de Schrödinger para cada região:
-
Para
: Podemos reescrever a equação como:onde. A solução geral dessa equação é:Aqui,representa a onda incidente e a onda refletida. -
Para
: Reescrevendo a equação:onde. A solução geral é:No entanto, como estamos considerando uma barreira à direita, assumimos que não há onda vindo de, então .
Passo 5
Finalmente, para determinar os coeficientes
,
e
, precisamos aplicar as condições de continuidade da função de onda
e de sua derivada
em
. Isso garante que a função de onda seja física e contínua em toda a linha.
Após aplicar essas condições, obtemos as funções de onda completas à esquerda e à direita da barreira de potencial.
Resposta
As funções de onda são:
onde:
Exercícios relacionados
O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que a onda piloto de De Broglie (ou melhor a integral de Fourier da onda plana) é solução da equação de Schroedinger.
Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Mostre que se
onde
então o número de onda na região 2 é dado por
.
O cientista Louis De Broglie deu contribuições significativas para a física quântica. Mostre que uma solução geral (em notação complexa) para a função de onda, ou seja
, da origem a equações acopladas para as partes real e imaginária, inviabilizando a interpretação da função de onda como uma variável dinâmica de uma partícula quântica.
Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo:
onde
as autofunções da energia
são ortonormais. Mostre que
(relação de completeza) .