Uma partícula de massa m se desloca no sentido positivo de x. A energia potencial da partícula é nula para x<0 e igual a Uo para x>=0, onde é Uo constante e positiva. Obtenhas as funções de onda a esquerda e a direita da barreira de potencial, para os parâmetros dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula se movendo ao longo do eixo e como ela interage com uma barreira de potencial. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo, para encontrar as funções de onda à esquerda e à direita da barreira. Precisaremos entender como a energia potencial influencia o comportamento da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região à esquerda da barreira ( -hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi ). Nessa área, a energia potencial é zero. A equação de Schrödinger para uma partícula livre (sem potencial) é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia total, e é a função de onda que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a região à direita da barreira ( -hbar^22m d^2 psidx^2 + U0 psi = E psi ). Aqui, a energia potencial é igual a , uma constante positiva. A equação de Schrödinger fica:
Essa diferença na energia potencial vai afetar a forma da função de onda nessa região.

Passo 4

Vamos resolver as equações de Schrödinger para cada região:
  • Para d^2 psidx^2 + k^2 psi = 0 :
    Podemos reescrever a equação como:
    psiesquerda(x) = A e^ikx + B e^-ikx
    onde d^2 psidx^2 + q^2 psi = 0 .
    A solução geral dessa equação é:
    psidireita(x) = C e^iqx + D e^-iqx
    Aqui, representa a onda incidente e a onda refletida.
  • Para :
    Reescrevendo a equação:
    onde .
    A solução geral é:
    No entanto, como estamos considerando uma barreira à direita, assumimos que não há onda vindo de , então .

Passo 5

Finalmente, para determinar os coeficientes , e , precisamos aplicar as condições de continuidade da função de onda e de sua derivada em . Isso garante que a função de onda seja física e contínua em toda a linha.
Após aplicar essas condições, obtemos as funções de onda completas à esquerda e à direita da barreira de potencial.

Resposta

As funções de onda são:
psiesquerda(x) = A e^ikx + B e^-ikx para x < 0
psidireita(x) = C e^iqx para x >= 0
onde:
k = raiz2mEhbar^2 e q = raiz2m(E - U0)hbar^2

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