Considere um sistema que é representado por uma função de onda do tipo: psi(r, t)=sumn cn(t) phin(r) onde cn(t)=cn e^-i Em / hbar e as autofunções da energia phin(r) são ortonormais. Mostre que sumn|cn^2|=1 (relação de completeza) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a soma dos quadrados dos coeficientes é igual a 1, ou seja, . Estamos trabalhando com a função de onda de um sistema quântico, que é expressa como uma combinação linear das autofunções da energia . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de onda, ortonormalidade e normalização em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a função de onda psi(r, t) = sumn cn(t) phin(r) está escrita como uma soma das autofunções cn(t) = cn e^-i En t / hbar multiplicadas pelos coeficientes :
E os coeficientes têm a forma:
Aqui, são os autovalores de energia e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

A ortonormalidade das autofunções integral phim^*(r) phin(r) , dr = de significa que:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 se e 0 caso contrário. Isso garante que as diferentes autofunções são mutuamente ortogonais e normalizadas.

Passo 4

Para que a função de onda integral |psi(r, t)|^2 , dr = 1 seja devidamente normalizada, a integral do módulo ao quadrado dela deve ser igual a 1:
Vamos calcular essa integral usando a expressão para .

Passo 5

Substituindo integral | sumn cn(t) phin(r) |^2 dr = 1 na integral:
integral summ sumn cm(t) cn^*(t) phim(r) phin^*(r) , dr = 1
Expandindo o módulo ao quadrado:

Passo 6

Devido à ortonormalidade das sumn |cn(t)|^2 = 1 , muitas das integrais serão zero, ficando somente os termos onde :

Passo 7

Observando que sumn |cn|^2 = 1 porque a parte exponencial tem módulo 1:

Resposta

Mostramos que , confirmando a relação de completude.

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