Uma partícula de massa m se desloca no sentido positivo de x. A energia potencial da partícula é nula para x<0 e igual a Uo para x>=0, onde é Uo constante e positiva. Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de a e resolva para a=1 e a=5. Discuta os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que se move na direção positiva de . A energia potencial é zero quando e igual a quando , com sendo uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para os coeficientes de reflexão ( ) e transmissão ( ) em função de um parâmetro , e depois resolver esses coeficientes para e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre barreiras de potencial e como a partícula interage com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a partícula tem uma energia total a = EU0 . Quando psiantes(x) = e^ik1x + R e^-ik1x , a energia potencial é zero, então a energia cinética é psidepois(x) = T e^ik2x . Para k1 = raiz2mEhbar^2, k2 = raiz2m(E - U0)hbar^2 , a energia potencial é , então a energia cinética efetiva é .
Vamos definir o parâmetro como a razão entre a energia da partícula e a energia potencial da barreira:
Isso nos ajuda a analisar os casos onde a energia da partícula é menor ou maior que a energia potencial da barreira.
Agora, para encontrar e , usamos as funções de onda nas duas regiões e aplicamos as condições de continuidade nas interfaces. As soluções para as funções de onda são:
Para :
Para :
Onde:

Passo 3

Aplicando a continuidade da função de onda e de sua derivada em 1 + R = T , obtemos as seguintes relações:
ik1(1 - R) = ik2 T
T = 1 + R
Podemos resolver esse sistema de equações para ik1(1 - R) = ik2 (1 + R) e k1(1 - R) = k2 (1 + R) :
Da primeira equação:
k1 - k1 R = k2 + k2 R
Substituindo na segunda equação:
k1 - k2 = R(k1 + k2)
R = k1 - k2k1 + k2
T = 1 + k1 - k2k1 + k2 = 2k1k1 + k2
k1 = raiz2mEhbar^2 = raiz2mU0 ahbar^2
k2 = raiz2m(E - U0)hbar^2 = raiz2mU0 (a - 1)hbar^2
E substituindo k2k1 = raiza - 1a na expressão para R = 1 - raiza - 1a1 + raiza - 1a :
T = 21 + raiza - 1a
Agora, expressamos e em termos de :
Simplificando, podemos cancelar alguns termos:
Portanto, os coeficientes ficam:

Passo 4

Agora, vamos calcular raiz1 - 11 = 0 e R = 1 - 01 + 0 = 1 para T = 21 + 0 = 2 e raiz5 - 15 = raiz45 = 2raiz5 approx 0,894 .
Para R = 1 - 0,8941 + 0,894 = 0,1061,894 approx 0,056 :
T = 21 + 0,894 = 21,894 approx 1,056
Então:
No entanto, como a transmissão não pode ser maior que 1, isso indica uma transição completa refletida quando .
Para :
Então:
Novamente, a transmissão acima de 1 sugere a necessidade de interpretar corretamente os coeficientes, levando em conta a conservação da probabilidade.

Passo 5

Discussão dos resultados:
Para (quando a energia da partícula iguala a energia potencial da barreira), observamos que a partícula é completamente refletida ( ) e não há transmissão ( ). Isso faz sentido, pois a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira.
Para (quando a energia da partícula é maior que a energia potencial), a maioria da partícula é transmitida ( ) e a reflexão é mínima ( ). Isso indica que, com energia suficiente, a partícula consegue facilmente atravessar a barreira, com pouca reflexão.

Resposta

Os coeficientes de reflexão e transmissão são, em função de R = 1 - raiza - 1a1 + raiza - 1a :
T = 21 + raiza - 1a
R = 1, T = 0
Para R approx 0,056, T approx 1,056 :
Para :
Esses resultados mostram que quando a energia da partícula é igual à energia potencial da barreira ( ), a partícula é totalmente refletida. Já quando a energia é maior ( ), a maior parte da partícula é transmitida através da barreira, com pouca reflexão.

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