Uma partícula de massa se desloca no sentido positivo de . A energia potencial da partícula é nula para e igual a Uo para , onde é Uo constante e positiva. Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de e resolva para e . Discuta os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que se move na direção positiva de . A energia potencial é zero quando e igual a quando , com sendo uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para os coeficientes de reflexão () e transmissão () em função de um parâmetro , e depois resolver esses coeficientes para e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre barreiras de potencial e como a partícula interage com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a partícula tem uma energia total . Quando , a energia potencial é zero, então a energia cinética é . Para , a energia potencial é , então a energia cinética efetiva é .
Vamos definir o parâmetro como a razão entre a energia da partícula e a energia potencial da barreira:
Isso nos ajuda a analisar os casos onde a energia da partícula é menor ou maior que a energia potencial da barreira.
Agora, para encontrar e , usamos as funções de onda nas duas regiões e aplicamos as condições de continuidade nas interfaces. As soluções para as funções de onda são:
Para :
Para :
Onde:
Passo 3
Aplicando a continuidade da função de onda e de sua derivada em , obtemos as seguintes relações:
Podemos resolver esse sistema de equações para e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo na expressão para :
Agora, expressamos e em termos de :
Simplificando, podemos cancelar alguns termos:
Portanto, os coeficientes ficam:
Passo 4
Agora, vamos calcular e para e .
Para :
Então:
No entanto, como a transmissão não pode ser maior que 1, isso indica uma transição completa refletida quando .
Para :
Então:
Novamente, a transmissão acima de 1 sugere a necessidade de interpretar corretamente os coeficientes, levando em conta a conservação da probabilidade.
Passo 5
Discussão dos resultados:
Para (quando a energia da partícula iguala a energia potencial da barreira), observamos que a partícula é completamente refletida () e não há transmissão (). Isso faz sentido, pois a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira.
Para (quando a energia da partícula é maior que a energia potencial), a maioria da partícula é transmitida () e a reflexão é mínima (). Isso indica que, com energia suficiente, a partícula consegue facilmente atravessar a barreira, com pouca reflexão.
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são, em função de :
Para :
Para :
Esses resultados mostram que quando a energia da partícula é igual à energia potencial da barreira (), a partícula é totalmente refletida. Já quando a energia é maior (), a maior parte da partícula é transmitida através da barreira, com pouca reflexão.