Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de
e resolva para
e
. Discuta os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move na direção positiva de
. A energia potencial
é zero quando
e igual a
quando
, com
sendo uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para os coeficientes de reflexão (
) e transmissão (
) em função de um parâmetro
, e depois resolver esses coeficientes para
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre barreiras de potencial e como a partícula interage com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a partícula tem uma energia total
. Quando
, a energia potencial é zero, então a energia cinética é
. Para
, a energia potencial é
, então a energia cinética efetiva é
.
Vamos definir o parâmetro
como a razão entre a energia da partícula e a energia potencial da barreira:
Isso nos ajuda a analisar os casos onde a energia da partícula é menor ou maior que a energia potencial da barreira.
Agora, para encontrar
e
, usamos as funções de onda nas duas regiões e aplicamos as condições de continuidade nas interfaces. As soluções para as funções de onda são:
Para
:
Para
:
Onde:
Passo 3
Aplicando a continuidade da função de onda e de sua derivada em
, obtemos as seguintes relações:
Podemos resolver esse sistema de equações para
e
:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E substituindo
na expressão para
:
Agora, expressamos
e
em termos de
:
Simplificando, podemos cancelar alguns termos:
Portanto, os coeficientes ficam:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
para
e
.
Para
:
Então:
No entanto, como a transmissão não pode ser maior que 1, isso indica uma transição completa refletida quando
.
Para
:
Então:
Novamente, a transmissão acima de 1 sugere a necessidade de interpretar corretamente os coeficientes, levando em conta a conservação da probabilidade.
Passo 5
Discussão dos resultados:
Para
(quando a energia da partícula iguala a energia potencial da barreira), observamos que a partícula é completamente refletida (
) e não há transmissão (
). Isso faz sentido, pois a partícula não tem energia suficiente para superar a barreira.
Para
(quando a energia da partícula é maior que a energia potencial), a maioria da partícula é transmitida (
) e a reflexão é mínima (
). Isso indica que, com energia suficiente, a partícula consegue facilmente atravessar a barreira, com pouca reflexão.
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são, em função de
:
Para
:
Para
:
Esses resultados mostram que quando a energia da partícula é igual à energia potencial da barreira (
), a partícula é totalmente refletida. Já quando a energia é maior (
), a maior parte da partícula é transmitida através da barreira, com pouca reflexão.