Um cilindro adiabático horizonte foi dividido em duas partes por um êmbolo de 2,50 kg de massa, que está que está apoiado em uma mola ideal de constante elástica igual a 1,04 - 10^5 N/m. Na lateral direita do cilindro, fez-se vácuo e, na parte esquerda, foram colocados 5 mols de um gás perfeito. Na situação de equilíbrio, a altura h vale 60 cm e a mola está comprimida em 20 cm. Desprezando-se possíveis atritos, qual a temperatura do gás em graus Celsius?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro adiabático dividido por um êmbolo que pesa 2,50 kg e está apoiado em uma mola com constante elástica de
. Na direita do cilindro tem vácuo e na esquerda temos 5 mols de um gás perfeito. No equilíbrio, a altura do cilindro é 60 cm e a mola está comprimida em 20 cm. Precisamos encontrar a temperatura do gás em graus Celsius.
Os conteúdos que vamos usar são:
- Equilíbrio de forças
- Lei dos gases ideais
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no êmbolo. Como o sistema está em equilíbrio, a força exercida pelo gás na esquerda deve equilibrar o peso do êmbolo mais a força da mola.
A força exercida pela mola é dada por:
Onde:
-
é a constante elástica da mola. -
é a compressão da mola.
Calculando a força da mola:
Passo 3
Agora, calculamos o peso do êmbolo:
Onde:
-
é a massa do êmbolo. -
é a aceleração da gravidade.
Calculando o peso:
Passo 4
A força total que o gás precisa exercer é a soma da força da mola e do peso do êmbolo:
(O peso do êmbolo é pequeno comparado à força da mola, então podemos arredondar para
).
Passo 5
Agora, relacionamos a força do gás com a pressão. A pressão exercida pelo gás é:
Onde
é a área do êmbolo. Porém, como a área não foi fornecida, precisamos relacionar a pressão com a altura do cilindro e outras informações.
Entretanto, notamos que a pressão que o gás exerce também pode ser relacionada com a altura
, mas a informação essencial que falta aqui é que a altura do cilindro não afeta diretamente a pressão do gás se considerarmos que o volume é ajustado pela movimentação do êmbolo.
Então, vamos usar a pressão balanceada pelas forças:
A área cancela quando relacionamos com a lei dos gases ideais.
Passo 6
Aplicamos a lei dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume, -
, -
, -
é a temperatura em Kelvin.
Primeiro, precisamos encontrar a pressão
. Da etapa anterior, sabemos que:
Como não temos
, vamos relacionar
com a altura
. Mas sem a área, o volume não é diretamente solucionável. Porém, podemos considerar que a força do gás está equilibrada com as forças externas, então podemos rearranjar a lei:
Sem o valor de
ou
, precisamos de outra abordagem. Na verdade, a altura
não é necessária para calcular a temperatura se considerarmos diretamente as forças e a lei dos gases.
Vamos reescrever a Lei dos Gases com a pressão encontrada:
Rearranjando para
:
Mas ainda precisamos de
. Considerando que a mola está comprimida, podemos relacionar a compressão com a mudança no volume, mas sem informações adicionais sobre o cilindro, isso não é direto.
Uma abordagem mais simples é considerar que a força do gás na área do êmbolo está diretamente relacionada com a pressão, e como
, podemos substituir na equação de temperatura. Porém, sem a área, não é possível prosseguir diretamente.
Assim, parece que o enunciado pode estar faltando algumas informações, ou estamos interpretando incorretamente a altura
.
Passo 7
Vamos reconsiderar a altura
como a altura do gás, e o volume
pode ser calculado se soubermos a área do êmbolo. Porém, como não temos a área, podemos relacionar a pressão diretamente com as forças.
Sabendo que:
E
, então:
Podemos simplificar
:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Calculando:
Passo 9
Convertendo Kelvin para Celsius:
Resposta
A temperatura do gás é aproximadamente
.