Um cilindro adiabático horizonte foi dividido em duas partes por um êmbolo de 2,50 kg de massa, que está que está apoiado em uma mola ideal de constante elástica igual a 1,04 - 10^5 N/m. Na lateral direita do cilindro, fez-se vácuo e, na parte esquerda, foram colocados 5 mols de um gás perfeito. Na situação de equilíbrio, a altura h vale 60 cm e a mola está comprimida em 20 cm. Desprezando-se possíveis atritos, qual a temperatura do gás em graus Celsius?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro adiabático dividido por um êmbolo que pesa 2,50 kg e está apoiado em uma mola com constante elástica de 1,04 times 10^5 , N/m. Na direita do cilindro tem vácuo e na esquerda temos 5 mols de um gás perfeito. No equilíbrio, a altura do cilindro é 60 cm e a mola está comprimida em 20 cm. Precisamos encontrar a temperatura do gás em graus Celsius.
Os conteúdos que vamos usar são:
  • Equilíbrio de forças
  • Lei dos gases ideais

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no êmbolo. Como o sistema está em equilíbrio, a força exercida pelo gás na esquerda deve equilibrar o peso do êmbolo mais a força da mola.
A força exercida pela mola é dada por:
Fmola = k cdot De
Onde:
  • k = 1,04 times 10^5 , N/m é a constante elástica da mola.
  • De é a compressão da mola.
Calculando a força da mola:
Fmola = 1,04 times 10^5 , N/m times 0,20 , m = 2,08 times 10^4 , N

Passo 3

Agora, calculamos o peso do êmbolo:
Fpeso = m cdot g
Onde:
  • m = 2,50 , kg é a massa do êmbolo.
  • g = 9,81 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Calculando o peso:
Fpeso = 2,50 , kg times 9,81 , m/s^2 = 24,525 , N

Passo 4

A força total que o gás precisa exercer é a soma da força da mola e do peso do êmbolo:
Fgás = Fmola + Fpeso = 2,08 times 10^4 , N + 24,525 , N approx 2,08 times 10^4 , N á
(O peso do êmbolo é pequeno comparado à força da mola, então podemos arredondar para 2,08 times 10^4 , N).

Passo 5

Agora, relacionamos a força do gás com a pressão. A pressão exercida pelo gás é:
P = FA
Onde A é a área do êmbolo. Porém, como a área não foi fornecida, precisamos relacionar a pressão com a altura do cilindro e outras informações.
Entretanto, notamos que a pressão que o gás exerce também pode ser relacionada com a altura h, mas a informação essencial que falta aqui é que a altura do cilindro não afeta diretamente a pressão do gás se considerarmos que o volume é ajustado pela movimentação do êmbolo.
Então, vamos usar a pressão balanceada pelas forças:
P cdot A = Fgás á
A área cancela quando relacionamos com a lei dos gases ideais.

Passo 6

Aplicamos a lei dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n = 5 , mol,
  • R = 8,314 , J/(mol·K),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Primeiro, precisamos encontrar a pressão P. Da etapa anterior, sabemos que:
P = FgásA á
Como não temos A, vamos relacionar V com a altura h = 0,60 , m. Mas sem a área, o volume não é diretamente solucionável. Porém, podemos considerar que a força do gás está equilibrada com as forças externas, então podemos rearranjar a lei:
P = FgásA = nRTV á
Sem o valor de A ou V, precisamos de outra abordagem. Na verdade, a altura h não é necessária para calcular a temperatura se considerarmos diretamente as forças e a lei dos gases.
Vamos reescrever a Lei dos Gases com a pressão encontrada:
P = nRTV
Rearranjando para T:
T = PVnR
Mas ainda precisamos de V. Considerando que a mola está comprimida, podemos relacionar a compressão com a mudança no volume, mas sem informações adicionais sobre o cilindro, isso não é direto.
Uma abordagem mais simples é considerar que a força do gás na área do êmbolo está diretamente relacionada com a pressão, e como P = FA, podemos substituir na equação de temperatura. Porém, sem a área, não é possível prosseguir diretamente.
Assim, parece que o enunciado pode estar faltando algumas informações, ou estamos interpretando incorretamente a altura h.

Passo 7

Vamos reconsiderar a altura h = 0,60 , m como a altura do gás, e o volume V pode ser calculado se soubermos a área do êmbolo. Porém, como não temos a área, podemos relacionar a pressão diretamente com as forças.
Sabendo que:
P = FgásA = nRTV á
E V = A cdot h, então:
FgásA = nRTA cdot h á
Podemos simplificar A:
Fgás = nRTh á
Agora, isolamos T:
T = Fgás cdot hnR á

Passo 8

Substituímos os valores conhecidos na fórmula:
T = 2,08 times 10^4 , N times 0,60 , m5 , mol times 8,314 , J/(mol·K)
Calculando:
T = 1,248 times 10^4 , J41,57 , J/K approx 300 , K

Passo 9

Convertendo Kelvin para Celsius:
TC = TK - 273,15 approx 300 - 273,15 = 26,85^circ C

Resposta

A temperatura do gás é aproximadamente 26,85^circ C.

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