Um cilindro circular muito longo de raio
, isolante, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a
, é concêntrico a uma camada cilíndrica condutora de raio interno
e raio externo
com carga total zero. Calcule o campo elétrico para: (a)
, (b)
©
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um cilindro isolante muito longo de raio
com densidade de carga volumétrica uniforme
. Esse cilindro está concêntrico a uma camada cilíndrica condutora com raio interno
e raio externo
, e essa camada condutora tem carga total zero. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
em três regiões diferentes:
(a) Para ,
(b) Para ,
© Para .
(a) Para
(b) Para
© Para
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria. Precisaremos aplicar a Lei de Gauss a cilindros gaussianos apropriados em cada região.
Passo 2
Vamos começar com a região (a) onde
. Aqui, estamos dentro do cilindro isolante carregado.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga dentro do nosso cilindro gaussiano de raio
e altura
.
Como a densidade de carga é uniforme (
), a carga
dentro do cilindro gaussiano é:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico
é radial e tem o mesmo valor em todos os pontos a uma distância
do eixo. Assim, a integral de superfície se simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Para a região (b) onde
, estamos dentro da camada condutora. Sabemos que o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero. No entanto, como a camada condutora tem raio interno
e externo
e carga total zero, precisamos considerar as superposições de campos.
Primeiro, consideramos o campo devido ao cilindro isolante. Como
, a carga total dentro do cilindro gaussiano agora inclui todo o cilindro isolante mais qualquer carga na camada interna do condutor. Mas como a carga total do condutor é zero, a carga na camada interna do condutor será igual e oposta à carga do cilindro isolante para manter a neutralidade.
Portanto, o campo dentro do condutor (
) será zero.
Passo 5
Finalmente, para a região © onde
, estamos fora de toda a estrutura composta. A camada condutora tem carga total zero, então a única contribuição para o campo elétrico vem do cilindro isolante.
A carga total do cilindro isolante é:
Aplicando a Lei de Gauss para
, temos:
Resolvendo para
:
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
© Para
:
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e outracom
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.
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localizada em
e outracom
localizada em
.
(b) Calcule o campo elétrico no ponto .
(b) Calcule o campo elétrico no ponto
Considere um sistema contendo duas cargas pontuais, uma com
localizada em
e outracom
localizada em
.
© Desenhe aproximadamente as linhas de campo elétrico.
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