Um cilindro circular muito longo de raio , isolante, com densidade volumétrica uniforme de cargas igual a , é concêntrico a uma camada cilíndrica condutora de raio interno e raio externo com carga total zero. Calcule o campo elétrico para: (a) , (b) © .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um cilindro isolante muito longo de raio com densidade de carga volumétrica uniforme . Esse cilindro está concêntrico a uma camada cilíndrica condutora com raio interno e raio externo , e essa camada condutora tem carga total zero. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico em três regiões diferentes:
(a) Para ,
(b) Para ,
© Para .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria. Precisaremos aplicar a Lei de Gauss a cilindros gaussianos apropriados em cada região.

Passo 2

Vamos começar com a região (a) onde . Aqui, estamos dentro do cilindro isolante carregado.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga dentro do nosso cilindro gaussiano de raio e altura .
Como a densidade de carga é uniforme ( ), a carga dentro do cilindro gaussiano é:
Devido à simetria cilíndrica, o campo elétrico é radial e tem o mesmo valor em todos os pontos a uma distância do eixo. Assim, a integral de superfície se simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Para a região (b) onde , estamos dentro da camada condutora. Sabemos que o campo elétrico dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero. No entanto, como a camada condutora tem raio interno e externo e carga total zero, precisamos considerar as superposições de campos.
Primeiro, consideramos o campo devido ao cilindro isolante. Como , a carga total dentro do cilindro gaussiano agora inclui todo o cilindro isolante mais qualquer carga na camada interna do condutor. Mas como a carga total do condutor é zero, a carga na camada interna do condutor será igual e oposta à carga do cilindro isolante para manter a neutralidade.
Portanto, o campo dentro do condutor ( ) será zero.

Passo 5

Finalmente, para a região © onde , estamos fora de toda a estrutura composta. A camada condutora tem carga total zero, então a única contribuição para o campo elétrico vem do cilindro isolante.
A carga total do cilindro isolante é:
Aplicando a Lei de Gauss para , temos:
Resolvendo para :

Resposta

(a) Para :
(b) Para :
© Para :

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