Um cilindro circular reto ê inscrito em um cone com altura raio da base . Encontre o maior volume possível desse cilindro.

Passo 1

Beleza, então o problema é sobre encontrar o maior volume possível de um cilindro que está inscrito dentro de um cone. Estamos lidando com geometria sólida, mais especificamente com cálculo de volumes e otimização. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de volume do cilindro e do cone, além de usar um pouco de cálculo para maximizar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde é o raio da base e é a altura do cilindro.

Passo 3

Agora, como o cilindro está inscrito no cone, precisamos relacionar as dimensões do cilindro com as do cone. Sabemos que o cone tem altura e raio da base .

Passo 4

Vamos considerar como a altura do cilindro e como o raio do cilindro. Devido à semelhança dos triângulos formados pelo cone e o cilindro, temos a relação:
Isso nos dá:

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume do cilindro, temos:

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação, encontramos que o volume é máximo quando:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 9

Agora, calculamos o volume máximo substituindo e na fórmula do volume do cilindro:
á

Resposta

O maior volume possível do cilindro inscrito no cone é:
á

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