Um cilindro circular reto ê inscrito em um cone com altura
raio da base
. Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Passo 1
Beleza, então o problema é sobre encontrar o maior volume possível de um cilindro que está inscrito dentro de um cone. Estamos lidando com geometria sólida, mais especificamente com cálculo de volumes e otimização. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de volume do cilindro e do cone, além de usar um pouco de cálculo para maximizar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde
é o raio da base e
é a altura do cilindro.
Passo 3
Agora, como o cilindro está inscrito no cone, precisamos relacionar as dimensões do cilindro com as do cone. Sabemos que o cone tem altura
e raio da base
.
Passo 4
Vamos considerar
como a altura do cilindro e
como o raio do cilindro. Devido à semelhança dos triângulos formados pelo cone e o cilindro, temos a relação:
Isso nos dá:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume do cilindro, temos:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação, encontramos que o volume é máximo quando:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão para
:
Passo 9
Agora, calculamos o volume máximo substituindo
e
na fórmula do volume do cilindro:
Resposta
O maior volume possível do cilindro inscrito no cone é:
Exercícios relacionados
O conjunto
é uma partição de
. Obter a relação de equivalência associada.
Determine a relação de equivalência
em
que determina o seguinte conjunto quociente (partição de
):
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Esboce as curvas de nível e o gráfico da função dada.