Determine a relação de equivalência R em A = {1, 2, 3, 4, 5} que determina o seguinte conjunto quociente (partição de A ):
A/ R = {{1,2},{3,4,5}}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma relação de equivalência, chamada R, em um conjunto . A relação deve criar uma partição específica de A, ou seja, dividir A em subconjuntos disjuntos que cobrem todo o conjunto. A partição dada é . Para isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como ela está relacionada com partições de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação R em um conjunto A é chamada de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, , .
  2. Simetria: Se um elemento a está relacionado com b, então b está relacionado com a. Formalmente, se , então .
  3. Transitividade: Se a está relacionado com b e b está relacionado com c, então a está relacionado com c. Ou seja, se e , então .
Essas propriedades garantem que a relação cria grupos de elementos que são equivalentes entre si, formando as partições do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver como a partição dada se relaciona com uma relação de equivalência. Cada subconjunto da partição é chamado de classe de equivalência. Portanto:
  • Na classe , os elementos 1 e 2 estão relacionados entre si.
  • Na classe , os elementos 3, 4 e 5 estão relacionados entre si.
Isso significa que nossa relação R deve incluir todos os pares de elementos dentro de cada classe, além dos pares onde os elementos são iguais (pela reflexividade).

Passo 4

Vamos listar todos os pares que fazem parte da relação R com base na partição:
  • Para a classe :
    • 1,1, 1,2
    • (2,1), (2, 2)
  • Para a classe :
    • 3,3, (3, 4), (3,5)
    • (4, 3), , 4,5
    • (5,3), (5,4),
Esses são todos os pares que garantem que cada elemento está relacionado consigo mesmo, e todos os elementos dentro da mesma classe estão relacionados entre si, respeitando simetria e transitividade.

Resposta

A relação de equivalência R em A é o conjunto de pares:

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