Determine a relação de equivalência em que determina o seguinte conjunto quociente (partição de ):

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado está pedindo para a gente encontrar uma relação de equivalência, chamada , em um conjunto . A relação deve criar uma partição específica de , ou seja, dividir em subconjuntos disjuntos que cobrem todo o conjunto. A partição dada é . Para isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como ela está relacionada com partições de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, , .
  2. Simetria: Se um elemento está relacionado com , então está relacionado com . Formalmente, se , então .
  3. Transitividade: Se está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com . Ou seja, se e , então .
Essas propriedades garantem que a relação cria grupos de elementos que são equivalentes entre si, formando as partições do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver como a partição dada se relaciona com uma relação de equivalência. Cada subconjunto da partição é chamado de classe de equivalência. Portanto:
  • Na classe , os elementos 1 e 2 estão relacionados entre si.
  • Na classe , os elementos 3, 4 e 5 estão relacionados entre si.
Isso significa que nossa relação deve incluir todos os pares de elementos dentro de cada classe, além dos pares onde os elementos são iguais (pela reflexividade).

Passo 4

Vamos listar todos os pares que fazem parte da relação com base na partição:
  • Para a classe :
    • ,
    • ,
  • Para a classe :
    • , ,
    • , ,
    • , ,
Esses são todos os pares que garantem que cada elemento está relacionado consigo mesmo, e todos os elementos dentro da mesma classe estão relacionados entre si, respeitando simetria e transitividade.

Resposta

A relação de equivalência em é o conjunto de pares:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas:
Em se define a seguinte relação de Equivalência mediante
Determinar as classes de equivalência, o conjunto quociente de e a partição associada do conjunto .
O conjunto é uma partição de . Obter a relação de equivalência associada.
Um cilindro circular reto ê inscrito em um cone com altura raio da base . Encontre o maior volume possível desse cilindro.