Um cilindro circular sólido homogêneo de peso
e raio
, inicialmente girando em torno de seu eixo geométrico com velocidade angular
é repentinamente colocado sobre um plano horizontal sem nenhuma velocidade inicial para o seu centro de massa. Qual velocidade
ao longo do plano o cilindro finalmente adquirirá se o coeficiente de atrito no ponto de contato
for
? Dado:
(20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um cilindro sólido e homogêneo com peso $ W $ e raio $ R $. Inicialmente, ele está girando em torno do próprio eixo com uma velocidade angular $ \omega_0 $. De repente, colocamos esse cilindro sobre um plano horizontal que estava parado (sem velocidade inicial para o centro de massa). A pergunta é: qual será a velocidade $ v $ que o cilindro vai ganhar ao deslizar pelo plano, considerando que o coeficiente de atrito no ponto de contato é $ \mu $?
Conteúdo da matéria envolvido: Dinâmica de rotação, torque, atrito e conservação de energia.
O que vamos precisar para resolver:
- Entender como o atrito afeta tanto a rotação quanto o movimento linear do cilindro.
- Aplicar as equações de Newton para movimento linear e as equações de torque para rotação.
- Usar o momento de inércia fornecido: $ I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o atrito com as forças que atuam no cilindro. Quando colocamos o cilindro girando sobre o plano, o atrito $ f $ entre o cilindro e o plano vai agir na direção oposta ao movimento relativo entre a superfície do cilindro e o plano. Esse atrito vai causar duas coisas:
- Uma força que acelera o centro de massa do cilindro, fazendo-o ganhar velocidade linear $ v $.
- Um torque que vai desacelerar a rotação do cilindro, reduzindo a velocidade angular $ \omega $.
A força de atrito $ f $ pode ser calculada pela fórmula:
Onde $ N $ é a força normal. Como o cilindro está sobre um plano horizontal, $ N = W = mg $, então:
Passo 3
Vamos agora analisar o movimento linear do centro de massa. Pela segunda lei de Newton:
Onde $ a $ é a aceleração linear do centro de massa. Substituindo $ f $:
Como $ m = \frac{W}{g} $, temos:
Simplificando:
Então, a aceleração linear do cilindro é $ a = \mu g $.
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento rotacional. O torque $ \tau $ causado pelo atrito é:
Segundo a segunda lei de Newton para rotação:
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular e $ I $ é o momento de inércia. Substituindo $ \tau $ e $ I_{cm} $:
Simplificando (cancelando $ M $ e $ R $):
Então:
Passo 5
Para que o cilindro pare de deslizar e comece a rolar sem deslizar, a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $ devem estar relacionadas pela condição de rolamento puro:
Sabemos que a velocidade linear final $ v $ é obtida pela aceleração $ a $ durante o tempo $ t $, e a velocidade angular final $ \omega $ é obtida pela aceleração angular $ \alpha $ durante o mesmo tempo $ t $.
Como o atrito atua até que $ v = \omega R $, temos:
Usando $ a = \mu g $ e $ \alpha = \frac{2\mu g}{R} $:
Resolvendo essas equações para $ v $:
Finalmente, isolando $ v $:
Resposta
A velocidade final $ v $ que o cilindro adquire ao longo do plano é: