Duas barras cilíndricas - CD feita de aço (Eaço=200GPa) e
feita de alumínio (Ealumínio=70GPa) - são unidas em
e contidas por apoios rígidos em
e
. Determine:
a) as reações em
e
;
a) as reações em
Passo 1
Então, pessoal, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos duas barras cilíndricas: a barra CD feita de aço, com módulo de elasticidade $ E_{aço} = 200 $ GPa, e a barra AC feita de alumínio, com módulo de elasticidade $ E_{alumínio} = 70 $ GPa. Essas duas barras estão unidas no ponto C e são sustentadas por apoios rígidos nos pontos A e D. O que precisamos descobrir é quais são as reações nos apoios A e D. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e mecânica dos materiais, especialmente as condições de equilíbrio e a relação entre força, deformação e módulo de elasticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema. Como as barras estão unidas e sustentadas, teremos reações nos apoios A e D. Vamos chamar as reações nos apoios de $ R_A $ e $ R_D $.
Passo 3
Como não há outras cargas externas especificadas no problema, assumimos que as únicas forças atuando são as reações nos apoios A e D. Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças verticais e horizontais deve ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero.
Passo 4
Vamos considerar que as barras estão sujeitas a condições de compatibilidade de deformações, já que elas são feitas de materiais diferentes. A deformação em C deve ser a mesma para ambas as barras. A deformação $ \delta $ de uma barra pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
- $ F $ é a força na barra,
- $ L $ é o comprimento da barra,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ E $ é o módulo de elasticidade do material.
Passo 5
Assumindo que as barras AC e CD têm o mesmo comprimento $ L $ e a mesma área de seção transversal $ A $, podemos igualar as deformações das duas barras:
Simplificando os termos que se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição de equilíbrio vertical. Como não há outras forças verticais além de $ R_A $ e $ R_D $, temos:
Isso indica que as reações são iguais e opostas.
Passo 7
Combinando as duas equações:
E sabemos que $ R_A = -R_D $. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por $ 70 \times 200 $:
Somando $ 70 R_A $ aos dois lados:
Então,
Consequentemente,
Resposta
As reações nos apoios A e D são ambas iguais a zero: $ R_A = 0 $ e $ R_D = 0 $.