Duas barras cilíndricas - CD feita de aço (Eaço=200GPa) e A C feita de alumínio (Ealumínio=70GPa) - são unidas em C e contidas por apoios rígidos em A e D. Determine:
a) as reações em A e D;

Passo 1

Então, pessoal, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos duas barras cilíndricas: a barra CD feita de aço, com módulo de elasticidade $ E_{aço} = 200 $ GPa, e a barra AC feita de alumínio, com módulo de elasticidade $ E_{alumínio} = 70 $ GPa. Essas duas barras estão unidas no ponto C e são sustentadas por apoios rígidos nos pontos A e D. O que precisamos descobrir é quais são as reações nos apoios A e D. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e mecânica dos materiais, especialmente as condições de equilíbrio e a relação entre força, deformação e módulo de elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema. Como as barras estão unidas e sustentadas, teremos reações nos apoios A e D. Vamos chamar as reações nos apoios de $ R_A $ e $ R_D $.

Passo 3

Como não há outras cargas externas especificadas no problema, assumimos que as únicas forças atuando são as reações nos apoios A e D. Para que o sistema esteja em equilíbrio, a soma das forças verticais e horizontais deve ser zero, e a soma dos momentos também deve ser zero.

Passo 4

Vamos considerar que as barras estão sujeitas a condições de compatibilidade de deformações, já que elas são feitas de materiais diferentes. A deformação em C deve ser a mesma para ambas as barras. A deformação $ \delta $ de uma barra pode ser calculada pela fórmula:
de
Onde:
  • $ F $ é a força na barra,
  • $ L $ é o comprimento da barra,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade do material.

Passo 5

Assumindo que as barras AC e CD têm o mesmo comprimento $ L $ e a mesma área de seção transversal $ A $, podemos igualar as deformações das duas barras:
L íç
Simplificando os termos que se cancelam:
A íç

Passo 6

Agora, vamos usar a condição de equilíbrio vertical. Como não há outras forças verticais além de $ R_A $ e $ R_D $, temos:
RA
Isso indica que as reações são iguais e opostas.

Passo 7

Combinando as duas equações:
RA70, GPa = RD200, GPa
E sabemos que $ R_A = -R_D $. Substituindo:
RA = -RD
Multiplicando ambos os lados por $ 70 \times 200 $:
RA70 = -RA200
Somando $ 70 R_A $ aos dois lados:
70 times 200
Então,
200 RA = -70 RA
Consequentemente,
70 RA

Resposta

As reações nos apoios A e D são ambas iguais a zero: $ R_A = 0 $ e $ R_D = 0 $.

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