Duas engrenagens feitas de aço AISI 1030 e AISI 1035 apresentam uma dureza Brinell superficial de 132 HB e 209 HB e sofrem um esforço de contato ciclico. Os raios de curvatura no ponto de engrenamento critico são: ; r1=5,85 mm e r2=12,64 mm. A largura de contato (dos dentes) é L=25 mm. Calcular a força de contato máxima que pode ser aplicada para que as engrenagens tenham uma vida de N=3 times 10^kappa ciclos e um fator de segurança eta^-1,2. Aço 1030: E=205 GPa e u=0,3.
Aço 1035: E=200 GPa e o =0,25.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas engrenagens feitas de aços diferentes (AISI 1030 e AISI 1035) que estão sofrendo esforços de contato cíclico. Queremos descobrir qual é a força máxima de contato que essas engrenagens podem suportar para garantir que durem um certo número de ciclos (vida útil) com um fator de segurança específico.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de resistência dos materiais, como dureza Brinell, módulo de elasticidade (E), razão de Poisson (ν), e como calcular a força de contato máxima usando esses dados. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Dureza Brinell (HB):
    • Aço 1030: 132 HB
    • Aço 1035: 209 HB
  • Módulo de Elasticidade (E):
    • Aço 1030: 205 GPa
    • Aço 1035: 200 GPa
  • Razão de Poisson (ν):
    • Aço 1030: 0,3
    • Aço 1035: 0,25
  • Raios de curvatura no ponto crítico de engrenamento:
    • r₁ = 5,85 mm
    • r₂ = 12,64 mm
  • Largura de contato dos dentes (L): 25 mm
  • Vida útil desejada (N): 3 × 10^κ ciclos (Aqui, parece que κ está faltando algum valor; vou assumir que κ é um expoente fornecido ou a ser determinado)
  • Fator de segurança (η): 1,2

Passo 3

Agora, vamos entender o que precisamos calcular: a força de contato máxima (F) que pode ser aplicada para que as engrenagens atinjam a vida útil desejada com o fator de segurança especificado.
A força de contato máxima pode ser determinada usando a fórmula de Hertz para contato entre dois corpos, que relaciona a força aplicada, os módulos de elasticidade, os raios de curvatura e a largura de contato.
A fórmula básica de Hertz para contato circular é:
F = 23 cdot sigma cdot raizpi cdot L cdot (req)
Onde σ é a tensão de contato máxima permitida, L é a largura de contato, e r_eq é o raio de curvatura equivalente.
No entanto, para garantir a vida útil desejada com o fator de segurança, precisamos relacionar a tensão de contato com a dureza Brinell e aplicar o fator de segurança.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular o raio de curvatura equivalente (r_eq) para as duas engrenagens. A fórmula para r_eq é dada por:
1req = 1r1 + 1r2
Onde r₁ e r₂ são os raios de curvatura das duas engrenagens.
Vamos calcular:
1req = 15,85 + 112,64 = 12,64 + 5,855,85 times 12,64 = 18,4973,944 approx 0,25 , mm^-1
Então,
req = 10,25 = 4 , mm

Passo 5

Agora, precisamos determinar a tensão de contato máxima permitida (σ). A dureza Brinell (HB) está relacionada à resistência dos materiais ao escoamento e pode ser usada para estimar a tensão de contato.
Uma aproximação comum relaciona a tensão de contato máxima com a dureza Brinell:
sigma = HBC
Onde C é uma constante que depende do material e do tipo de stress. Para nosso propósito, vamos considerar C = 3 para simplificar (esse valor pode variar dependendo das referências).
Vamos calcular σ para ambos os aços, mas como estamos buscando a força de contato máxima, usaremos o menor valor de σ entre os dois aços para garantir segurança.
Para o Aço 1030:
sigma1030 = 1323 = 44 , MPa
Para o Aço 1035:
sigma1035 = 2093 approx 69,67 , MPa
Como o Aço 1030 tem a menor σ, usaremos 44 MPa para garantir o fator de segurança.

Passo 6

Agora, aplicando o fator de segurança (η = 1,2), a tensão de contato permitida será:
sigmapermitida = sigmaeta = 441,2 approx 36,67 , MPa

Passo 7

Com a tensão de contato permitida, podemos usar a fórmula de Hertz para calcular a força de contato máxima (F):
sigma = FL cdot raizpi cdot req
Rearranjando para F:
F = sigma cdot L cdot raizpi cdot req
Substituindo os valores:
F = 36,67 times 10^6 , Pa times 25 times 10^-3 , m times raizpi times 4 times 10^-3 , m
Primeiro, calculamos a parte interna da raiz:
pi times 4 times 10^-3 = 0,012566 , m
Então,
raiz0,012566 approx 0,112 , m^0,5
Agora, multiplicando todos os termos:
F = 36,67 times 10^6 times 25 times 10^-3 times 0,112 approx 36,67 times 10^6 times 0,0028 approx 102,67 times 10^3 , N

Resposta

A força de contato máxima que pode ser aplicada nas engrenagens é aproximadamente 102,67 kN.

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