Por gentileza, obtenha uma expressão para a diferença de potencial entre os pontos e na vizinhança de um fio infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, A e B, que estão próximos de um fio infinito. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico e o potencial elétrico gerados por um fio carregado. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um fio infinito e entender como relacionar esse campo com a diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o campo elétrico gerado por um fio infinito com densidade linear de carga . O campo elétrico a uma distância do fio é dado por:
Aqui, é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário na direção radial, ou seja, saindo do fio.

Passo 3

Agora, para encontrar a diferença de potencial entre os pontos A e B , a gente precisa integrar o campo elétrico ao longo de um caminho que vá de A até B. A diferença de potencial é dada por:
Onde é um elemento de comprimento ao longo do caminho escolhido.

Passo 4

Como o fio é infinito e o campo depende apenas da distância radial , podemos escolher um caminho radial para simplificar a integração. Suponha que os pontos A e B estejam ao longo da mesma linha radial a partir do fio. Então, a direção de é a mesma de , e o produto escalar simplifica para:

Passo 5

Integrando de a , onde e são as distâncias do fio aos pontos A e B respectivamente, temos:
Essa integral é simples de resolver, pois a integral de é o logaritmo natural.

Passo 6

Resolvendo a integral, obtemos:

Resposta

A diferença de potencial entre os pontos A e B é:

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