Por gentileza, obtenha uma expressão para a diferença de potencial entre os pontos
e
na vizinhança de um fio infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, A e B, que estão próximos de um fio infinito. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico e o potencial elétrico gerados por um fio carregado. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um fio infinito e entender como relacionar esse campo com a diferença de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o campo elétrico gerado por um fio infinito com densidade linear de carga
. O campo elétrico
a uma distância
do fio é dado por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo e
é o vetor unitário na direção radial, ou seja, saindo do fio.
Passo 3
Agora, para encontrar a diferença de potencial entre os pontos A
e B
, a gente precisa integrar o campo elétrico ao longo de um caminho que vá de A até B. A diferença de potencial
é dada por:
Onde
é um elemento de comprimento ao longo do caminho escolhido.
Passo 4
Como o fio é infinito e o campo depende apenas da distância radial
, podemos escolher um caminho radial para simplificar a integração. Suponha que os pontos A e B estejam ao longo da mesma linha radial a partir do fio. Então, a direção de
é a mesma de
, e o produto escalar simplifica para:
Passo 5
Integrando de
a
, onde
e
são as distâncias do fio aos pontos A e B respectivamente, temos:
Essa integral é simples de resolver, pois a integral de
é o logaritmo natural.
Passo 6
Resolvendo a integral, obtemos:
Resposta
A diferença de potencial entre os pontos A e B é: