Um cilindro condutor longo possui raio ra e uma densidade de carga linear +lambda. Ele está circundado por uma casca cilíndrica coaxial condutora de raio interno rb e densidade de carga linear -lambda. Calcule a capacitância desse capacitor, supondo que exista vácuo entre as placas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial. A gente tem um cilindro condutor de raio com densidade de carga e uma casca cilíndrica ao redor com raio e densidade de carga . Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor, considerando que o espaço entre eles é vácuo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída e como isso cria um campo elétrico. Como temos um cilindro carregado positivamente e uma casca carregada negativamente, elas criam um campo elétrico entre elas. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar esse campo.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo . Vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio entre e .

Passo 4

A carga dentro da superfície gaussiana é apenas o cilindro central, que tem densidade de carga linear . Então, a carga total dentro da superfície é , onde é o comprimento do cilindro.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot 2pi r L = Qepsilon0 = lambda Lepsilon0
Aqui, é a intensidade do campo elétrico no ponto a uma distância do eixo.

Passo 6

Resolvendo para E = lambda2pi epsilon0 r :
Então, o campo elétrico entre os cilindros depende de .

Passo 7

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V = integralra^rb E , dr = integralra^rb lambda2pi epsilon0 r , dr entre os dois cilindros. A diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo do caminho entre e :

Passo 8

Integrando:
V = lambda2pi epsilon0 ln(rbra)

Passo 9

A capacitância C = QV = lambda Llambda2pi epsilon0 ln(rbra) = 2pi epsilon0 Lln(rbra) é a carga dividida pela diferença de potencial:
C' = CL = 2pi epsilon0ln(rbra)
Como queremos a capacitância por unidade de comprimento, dividimos por :

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento desse capacitor cilíndrico é:
C' = 2pi epsilon0ln(rbra)

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