Um cilindro condutor longo possui raio
e uma densidade de carga linear
. Ele está circundado por uma casca cilíndrica coaxial condutora de raio interno
e densidade de carga linear
. Calcule a capacitância desse capacitor, supondo que exista vácuo entre as placas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial. A gente tem um cilindro condutor de raio
com densidade de carga
e uma casca cilíndrica ao redor com raio
e densidade de carga
. Nosso objetivo é calcular a capacitância desse capacitor, considerando que o espaço entre eles é vácuo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a carga está distribuída e como isso cria um campo elétrico. Como temos um cilindro carregado positivamente e uma casca carregada negativamente, elas criam um campo elétrico entre elas. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar esse campo.
Passo 3
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Vamos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
entre
e
.
Passo 4
A carga dentro da superfície gaussiana é apenas o cilindro central, que tem densidade de carga linear
. Então, a carga total dentro da superfície é
, onde
é o comprimento do cilindro.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a intensidade do campo elétrico no ponto a uma distância
do eixo.
Passo 6
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico entre os cilindros depende de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a diferença de potencial
entre os dois cilindros. A diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo do caminho entre
e
:
Passo 8
Integrando:
Passo 9
A capacitância
é a carga dividida pela diferença de potencial:
Como queremos a capacitância por unidade de comprimento, dividimos por
:
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento desse capacitor cilíndrico é: