Dois diapasões de 400 Hz são colocados para vibrar simultaneamente. Um deles é jogado em um poço. Imediatamente antes do diapasão chegar ao fundo do poço e parar de vibrar é ouvida uma frequência de 15 Hz . Qual á fundura ( h ) do poço?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois diapasões que vibram a 400 Hz cada, e ambos estão vibrando ao mesmo tempo. Um desses diapasões é jogado em um poço, e pouco antes de atingir o fundo e parar de vibrar, uma frequência de 15 Hz é ouvida. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a profundidade (h) desse poço.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao efeito Doppler e à reflexão de ondas sonoras. Vamos precisar entender como a frequência percebida muda quando a fonte do som está se movendo em relação ao observador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o efeito Doppler. Esse efeito acontece quando há movimento relativo entre a fonte do som e o observador. Se a fonte está se afastando, a frequência percebida diminui; se está se aproximando, a frequência aumenta. A fórmula básica para o efeito Doppler, quando a fonte está se movendo e o observador está parado, é:
Onde:
-
é a frequência percebida, -
é a frequência emitida, -
é a velocidade da fonte, -
é a velocidade do som no ar (aproximadamente 340 m/s).
Passo 3
Na nossa situação, o diapasão está sendo jogado no poço e está se movendo para baixo enquanto emite o som. Isso faz com que a frequência refletida pelo fundo do poço seja percebida com uma frequência menor devido ao efeito Doppler.
Sabemos que a frequência emitida pelos diapasões é
e a frequência percebida é
.
Aplicando a fórmula do efeito Doppler:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar a velocidade
do diapasão:
Ops! Parece que chegamos a uma velocidade muito alta, o que não faz sentido físico. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 5
Percebi que houve um engano na interpretação da frequência percebida. Na realidade, a frequência de 15 Hz não é a frequência refletida, mas sim a diferença entre a frequência emitida e a percebida, conhecida como frequência de batimento.
A frequência de batimento é dada por:
Onde
e
são as frequências emitida e refletida, respectivamente. Então:
Agora, aplicamos o efeito Doppler corretamente:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Então, a velocidade do diapasão ao atingir o fundo do poço é de aproximadamente 13,25 m/s.
Passo 7
Agora, vamos relacionar essa velocidade com a profundidade do poço. Sabemos que a velocidade
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo:
Onde
é a profundidade do poço e
é o tempo que o som leva para ir até o fundo e voltar.
Sabemos que o som viaja no ar a aproximadamente 340 m/s, então o tempo total para o som percorrer essa distância de ida e volta é:
Rearranjando a equação para encontrar
:
Passo 8
Substituindo o valor de
:
Claro que essa profundidade parece extremamente grande e não é realista para um poço. Isso indica que talvez haja um erro na interpretação ou nos cálculos anteriores.
Resposta
A profundidade calculada do poço é de aproximadamente 2252,5 metros, porém esse valor é muito elevado para um poço comum, indicando que pode haver um erro na interpretação dos dados ou nas etapas de cálculo.