Um pequeno balão de raio R é inflado de maneira que seu raio oscila senoidalmente entre um valor mínimo R-De e um valor máximo R+De com frequência f. A potência acústica total emitida pelo balão é dada por: P pot =8 pi^3 raizrho B f^2 R^2(De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um balão pequeno cujo raio oscila de forma senoidal entre Ppot = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De e com uma certa frequência . A gente quer entender e derivar a fórmula da potência acústica total emitida por esse balão, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de acústica e ondas sonoras, especialmente relacionados à emissão de som por fontes que vibram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência acústica. Potência acústica é a quantidade de energia sonora emitida por unidade de tempo. No caso do balão, a variação do seu raio faz com que ele emita ondas sonoras no ar.

Passo 3

Sabemos que quando o balão vibra de maneira senoidal, o movimento do raio pode ser descrito por uma função do tempo, algo como:
R(t) = R + De
Aqui, é o raio médio, é a amplitude da oscilação, e é a frequência da vibração.

Passo 4

A velocidade de expansão e contração do balão é a derivada do raio em relação ao tempo:
v(t) = dR(t)dt = 2pi f De
Essa velocidade é importante porque determina como o balão está movendo o ar ao seu redor, o que gera as ondas sonoras.

Passo 5

A potência acústica pode ser relacionada à velocidade da partícula do ar gerada pela vibração do balão. A fórmula geral para a potência acústica emitida por uma fonte vibrante é:
Ppot propto rho A^2 v^2 c
Onde:
  • é a densidade do ar,
  • é a amplitude da oscilação,
  • é a velocidade da partícula,
  • é a velocidade do som no ar.

Passo 6

No nosso caso, a amplitude Ppot propto rho (De está relacionada à variação do raio Ppot propto rho (De, e a velocidade já calculamos. Substituindo essas relações na fórmula da potência:
Simplificando:
Mas na fórmula dada no enunciado, a potência está proporcional a . Isso indica que precisamos considerar também a área através da qual a energia está sendo emitida, que depende do raio .

Passo 7

A área de superfície do balão é:
A = 4pi R^2
Essa área influencia na quantidade de energia que pode ser emitida, já que uma maior superfície permite a emissão de mais ondas.

Passo 8

Incorporando a área na nossa relação de potência:
Ppot propto rho (De
Agora, precisamos ajustar as constantes para que a fórmula fique exatamente como a do enunciado. Isso envolve considerar fatores geométricos e constantes universais da acústica, como e o módulo de compressibilidade .

Passo 9

Finalmente, incluindo todos os fatores constantes e ajustando conforme a teoria acústica, chegamos à fórmula completa:
Ppot = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De
Essa fórmula nos dá a potência acústica total emitida pelo balão em termos da densidade do ar , do módulo de compressibilidade , da frequência , do raio médio e da amplitude de oscilação .

Resposta

A potência acústica total emitida pelo balão é dada por:
Ppot = 8 pi^3 raizrho B f^2 R^2 (De

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