(M) Um cilindro condutor maciço de raio a, com seu eixo orientado ao longo da direção Z, possui uma densidade de corrente dada por:
J=2 I0pi a^2[1-(sa)^2] z, s <= a
onde s é distância de um ponto na seção transversal do cilindro ao eixo e I0 é uma constante positiva com dimensão de corrente.
(a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro.
(b) Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos fora do cilindro (s>a).
© Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro (s <= a)
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo como função de s, destacando os valores relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a corrente total que passa pela seção transversal de um cilindro condutor. Isso envolve o estudo de eletrodinâmica, mais especificamente de densidade de corrente. Para resolver, vamos precisar integrar a densidade de corrente fornecida sobre toda a área da seção transversal do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente total I = integralA J cdot dA que atravessa uma área é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa área. Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Como o cilindro tem simetria cilíndrica e a densidade de corrente só depende da distância dA = s , ds , dtheta ao eixo, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um elemento de área na seção transversal é dado por:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo polar.

Passo 4

Substituindo a expressão da densidade de corrente I = integral0^2pi integral0^a 2 I0pi a^2(1 - s^2a^2) s , ds , dtheta e o elemento de área na integral, temos:
Vamos resolver a integral em primeiro.

Passo 5

Fazendo as integrações passo a passo:
  1. Integração em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^a s (1 - s^2a^2) ds = integral0^a s , ds - 1a^2 integral0^a s^3 ds = [s^22]0^a - 1a^2 [s^44]0^a = a^22 - a^24 = a^24
  1. Integração em I = 2 I0pi a^2 times 2pi times a^24 = I0 :
  1. Finalmente, juntando tudo:

Resposta

A corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro é .

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