(M) Um cilindro condutor maciço de raio , com seu eixo orientado ao longo da direção , possui uma densidade de corrente dada por:
onde é distância de um ponto na seção transversal do cilindro ao eixo e é uma constante positiva com dimensão de corrente.
(a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro.
(b) Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos fora do cilindro .
© Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo como função de , destacando os valores relevantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a corrente total que passa pela seção transversal de um cilindro condutor. Isso envolve o estudo de eletrodinâmica, mais especificamente de densidade de corrente. Para resolver, vamos precisar integrar a densidade de corrente fornecida sobre toda a área da seção transversal do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente total que atravessa uma área é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa área. Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Como o cilindro tem simetria cilíndrica e a densidade de corrente só depende da distância ao eixo, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um elemento de área na seção transversal é dado por:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo polar.

Passo 4

Substituindo a expressão da densidade de corrente e o elemento de área na integral, temos:
Vamos resolver a integral em primeiro.

Passo 5

Fazendo as integrações passo a passo:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
  1. Finalmente, juntando tudo:

Resposta

A corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro é .

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