(M) Um cilindro condutor maciço de raio
, com seu eixo orientado ao longo da direção
, possui uma densidade de corrente dada por:
onde
é distância de um ponto na seção transversal do cilindro ao eixo e
é uma constante positiva com dimensão de corrente.
(a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro.
(b) Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos fora do cilindro
.
© Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo como função de
, destacando os valores relevantes.
(a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro.
(b) Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos fora do cilindro
© Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo como função de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a corrente total que passa pela seção transversal de um cilindro condutor. Isso envolve o estudo de eletrodinâmica, mais especificamente de densidade de corrente. Para resolver, vamos precisar integrar a densidade de corrente fornecida sobre toda a área da seção transversal do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente total
que atravessa uma área
é dada pela integral da densidade de corrente
sobre essa área. Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Como o cilindro tem simetria cilíndrica e a densidade de corrente só depende da distância
ao eixo, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um elemento de área
na seção transversal é dado por:
Aqui,
é a distância do ponto ao eixo
e
é o ângulo polar.
Passo 4
Substituindo a expressão da densidade de corrente
e o elemento de área na integral, temos:
Vamos resolver a integral em
primeiro.
Passo 5
Fazendo as integrações passo a passo:
- Integração em
:
- Integração em
:
- Finalmente, juntando tudo:
Resposta
A corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro é
.