(M) Considere mais uma vez o modelo clássico para o átomo de Hidrogênio. Neste modelo, o elétron executa um movimento circular uniforme de velocidade escalar v e raio a0 em torno do próton, mantido fixo. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como estacionária:
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido por esta corrente na posição do próton.
(b) Determine o valor numérico deste campo, estimando o valor de v em termos de constantes fundamentais e utilizando a0=0.53 times 10^-10 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o modelo clássico do átomo de Hidrogênio, onde o elétron se move em uma órbita circular em torno do próton. A gente vai trabalhar com conceitos de corrente elétrica e campo magnético. Para resolver as partes (a) e (b), precisamos entender como o movimento circular do elétron gera uma corrente e como essa corrente produz um campo magnético no próton.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar o movimento do elétron como uma corrente elétrica. Quando uma carga elétrica se move, ela cria uma corrente. No caso do elétron orbitando, podemos considerar que a corrente I = qT é dada por:
Onde é a carga do elétron e é o período da órbita.

Passo 3

Sabemos que o período T = 2pi a0v é o tempo que o elétron leva para dar uma volta completa. Como a velocidade é constante e o movimento é circular, o período pode ser calculado por:
Aqui, é o raio da órbita e é a velocidade do elétron.

Passo 4

Substituindo I = q2pi a0v = qv2pi a0 na expressão da corrente , temos:
Isso nos dá a intensidade da corrente elétrica associada ao movimento do elétron.

Passo 5

Agora, para encontrar o campo magnético B = mu0 I2a0 no centro da órbita (onde está o próton), usamos a fórmula do campo magnético no centro de um circuito circular:
Onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 6

Substituindo a expressão de B = mu02a0 cdot qv2pi a0 = mu0 q v4pi a0^2 que encontramos:
Essa é a intensidade do campo magnético produzido pela corrente no próton.

Passo 7

Para a parte (b), vamos calcular numericamente esse campo. Precisamos dos valores das constantes:
  • Massa do elétron v = e^22epsilon0 h
  • Carga do elétron v approx 3 times 10^8 , m/s137 approx 2,19 times 10^6 , m/s
  • Permeabilidade do vácuo
  • Raio da órbita
  • A velocidade do elétron no modelo de Bohr é dada por:
Mas para simplificar, podemos usar a relação , onde é a constante de estrutura fina ( ) e é a velocidade da luz ( ):

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na expressão do campo magnético:
B = 4pi times 10^-7 times 1,60 times 10^-19 times 2,19 times 10^64pi times (0,53 times 10^-10)^2
Simplificando os termos:
B = 4pi times 10^-7 times 1,60 times 10^-19 times 2,19 times 10^64pi times 2,809 times 10^-21
Os B = 1,60 times 10^-19 times 2,19 times 10^62,809 times 10^-21 se cancelam:
1,60 times 2,19 = 3,504 times 10^-19+6 = 3,504 times 10^-13
Calculando o numerador:
B = 3,504 times 10^-132,809 times 10^-21 approx 1,25 times 10^8 , T
Então:

Resposta

A intensidade do campo magnético produzido pela corrente do elétron na posição do próton é aproximadamente .

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