(M) Considere mais uma vez o modelo clássico para o átomo de Hidrogênio. Neste modelo, o elétron executa um movimento circular uniforme de velocidade escalar
e raio
em torno do próton, mantido fixo. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como estacionária:
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido por esta corrente na posição do próton.
(b) Determine o valor numérico deste campo, estimando o valor de
em termos de constantes fundamentais e utilizando
.
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido por esta corrente na posição do próton.
(b) Determine o valor numérico deste campo, estimando o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o modelo clássico do átomo de Hidrogênio, onde o elétron se move em uma órbita circular em torno do próton. A gente vai trabalhar com conceitos de corrente elétrica e campo magnético. Para resolver as partes (a) e (b), precisamos entender como o movimento circular do elétron gera uma corrente e como essa corrente produz um campo magnético no próton.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar o movimento do elétron como uma corrente elétrica. Quando uma carga elétrica se move, ela cria uma corrente. No caso do elétron orbitando, podemos considerar que a corrente
é dada por:
Onde
é a carga do elétron e
é o período da órbita.
Passo 3
Sabemos que o período
é o tempo que o elétron leva para dar uma volta completa. Como a velocidade é constante e o movimento é circular, o período pode ser calculado por:
Aqui,
é o raio da órbita e
é a velocidade do elétron.
Passo 4
Substituindo
na expressão da corrente
, temos:
Isso nos dá a intensidade da corrente elétrica associada ao movimento do elétron.
Passo 5
Agora, para encontrar o campo magnético
no centro da órbita (onde está o próton), usamos a fórmula do campo magnético no centro de um circuito circular:
Onde
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 6
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Essa é a intensidade do campo magnético produzido pela corrente no próton.
Passo 7
Para a parte (b), vamos calcular numericamente esse campo. Precisamos dos valores das constantes:
- Massa do elétron
- Carga do elétron
- Permeabilidade do vácuo
- Raio da órbita
- A velocidade
do elétron no modelo de Bohr é dada por:
Mas para simplificar, podemos usar a relação
, onde
é a constante de estrutura fina (
) e
é a velocidade da luz (
):
Passo 8
Agora, substituímos todos os valores na expressão do campo magnético:
Simplificando os termos:
Os
se cancelam:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A intensidade do campo magnético produzido pela corrente do elétron na posição do próton é aproximadamente
.