(M) Considere mais uma vez o modelo clássico para o átomo de Hidrogênio. Neste modelo, o elétron executa um movimento circular uniforme de velocidade escalar e raio em torno do próton, mantido fixo. Supondo que a corrente associada ao movimento do elétron pode ser tratada como estacionária:
(a) Determine a intensidade do campo magnético produzido por esta corrente na posição do próton.
(b) Determine o valor numérico deste campo, estimando o valor de em termos de constantes fundamentais e utilizando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o modelo clássico do átomo de Hidrogênio, onde o elétron se move em uma órbita circular em torno do próton. A gente vai trabalhar com conceitos de corrente elétrica e campo magnético. Para resolver as partes (a) e (b), precisamos entender como o movimento circular do elétron gera uma corrente e como essa corrente produz um campo magnético no próton.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar o movimento do elétron como uma corrente elétrica. Quando uma carga elétrica se move, ela cria uma corrente. No caso do elétron orbitando, podemos considerar que a corrente é dada por:
Onde é a carga do elétron e é o período da órbita.

Passo 3

Sabemos que o período é o tempo que o elétron leva para dar uma volta completa. Como a velocidade é constante e o movimento é circular, o período pode ser calculado por:
Aqui, é o raio da órbita e é a velocidade do elétron.

Passo 4

Substituindo na expressão da corrente , temos:
Isso nos dá a intensidade da corrente elétrica associada ao movimento do elétron.

Passo 5

Agora, para encontrar o campo magnético no centro da órbita (onde está o próton), usamos a fórmula do campo magnético no centro de um circuito circular:
Onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 6

Substituindo a expressão de que encontramos:
Essa é a intensidade do campo magnético produzido pela corrente no próton.

Passo 7

Para a parte (b), vamos calcular numericamente esse campo. Precisamos dos valores das constantes:
  • Massa do elétron
  • Carga do elétron
  • Permeabilidade do vácuo
  • Raio da órbita
  • A velocidade do elétron no modelo de Bohr é dada por:
Mas para simplificar, podemos usar a relação , onde é a constante de estrutura fina ( ) e é a velocidade da luz ( ):

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na expressão do campo magnético:
Simplificando os termos:
Os se cancelam:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

A intensidade do campo magnético produzido pela corrente do elétron na posição do próton é aproximadamente .

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onde é distância de um ponto na seção transversal do cilindro ao eixo e é uma constante positiva com dimensão de corrente.
(a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro.
(b) Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos fora do cilindro .
© Calcule o vetor campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro
(d) Esboce um gráfico da intensidade do campo como função de , destacando os valores relevantes.
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